TikZ:高校数学:指数関数を含む関数の最大値・最小値

こんにちは。今回は指数関数を含む関数の最大値と最小値について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

a^x=tとおいてtの関数で考える

【例題】関数y=4^x-4\cdot2^x+3の最大値と最小値を求め, そのときのxの値を答えよ。
【解法】4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2なので,
2^x=tと置くと, 与式の関数は,
y=t^2-4t+3 t>0
これを平方完成すると,
y=\left(t-2\right)^2-1
定義域t>0において, 最小値は, t=2のとき, -1で, 最大値はtの値が決まらないので, なしになる。
t=2はすなわち, 2^x=2の事なので, これから最小値を与えるxの値はx=1と分かる。
よって,
x=1のとき, 最小値-1, 最大値は, なし\cdots(答)

Rendered by QuickLaTeX.com

【例題】関数y=-9^x+2\cdot3^x+1\ (-1\leqq x\leqq 1)の最大値と最小値を求め, そのときのxの値を答えよ。
【解法】9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2なので,
3^x=tとおくと, 定義域も変わるので, それを求めると,
-1\leqq x\leqq 1\Longrightarrow3^{-1}\leqq3^x\leqq3^1\Longrightarrow\dfrac13\leqq t\leqq 3
このとき,与式の関数は,
y=-t^2+2t+1
y=-(t-1)^2+2
定義域\dfrac13\leqq t\leqq 3において,
最大値はt=1のとき2で, 最小値はt=3のとき-2となる。

Rendered by QuickLaTeX.com


最大値はt=1のとき, すなわち3^x=1より, x=0,
最小値はt=3のとき, すなわち3^x=3より, x=1
よって, 最大値はx=0のとき, 2, 最小値はx=1のとき, -2\cdots(答)

指数関数を含む関数の最大値・最小値
\textcircled{\scriptsize 1} 底をそろえてa^x=tとして, tについての関数をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} このとき, tの定義域を再度定義し直すのを忘れない。
\textcircled{\scriptsize 3} tの定義域から最大値・最小値を求める。
\textcircled{\scriptsize 4} 必要なら, t=a^xから最大値・最小値を与えるxの値を求める。

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)