TikZ：高校数学：指数関数を含む関数の最大値・最小値

こんにちは。今回は指数関数を含む関数の最大値と最小値について書いておきます。例題を見ながら書いていきます。

a^x=tとおいてtの関数で考える

【例題】関数 $y=4^x-4\cdot2^x+3$ の最大値と最小値を求め, そのときの $x$ の値を答えよ。
【解法】 $4^x=\left(2^2\right)^x=\left(2^x\right)^2$ なので,
$2^x=t$ と置くと, 与式の関数は,
$y=t^2-4t+3$ 　 $t>0$
これを平方完成すると,
$y=\left(t-2\right)^2-1$
定義域 $t>0$ において, 最小値は, $t=2$ のとき, $-1$ で, 最大値は $t$ の値が決まらないので, なしになる。
$t=2$ はすなわち, $2^x=2$ の事なので, これから最小値を与える $x$ の値は $x=1$ と分かる。
よって,
$x=1$ のとき, 最小値 $-1$ , 最大値は, なし $\cdots$ (答)

【例題】関数 $y=-9^x+2\cdot3^x+1\ (-1\leqq x\leqq 1)$ の最大値と最小値を求め, そのときの $x$ の値を答えよ。
【解法】 $9^x=\left(3^2\right)^x=\left(3^x\right)^2$ なので,
$3^x=t$ とおくと, 定義域も変わるので, それを求めると,
$-1\leqq x\leqq 1\Longrightarrow3^{-1}\leqq3^x\leqq3^1\Longrightarrow\dfrac13\leqq t\leqq 3$
このとき,与式の関数は,
$y=-t^2+2t+1$
$y=-(t-1)^2+2$
定義域 $\dfrac13\leqq t\leqq 3$ において,
最大値は $t=1$ のとき2で, 最小値は $t=3$ のとき $-2$ となる。

最大値は $t=1$ のとき, すなわち $3^x=1$ より, $x=0$ ,
最小値は $t=3$ のとき, すなわち $3^x=3$ より, $x=1$ 。
よって, 最大値は $x=0$ のとき, 2, 最小値は $x=1$ のとき, $-2\cdots$ (答)

指数関数を含む関数の最大値・最小値

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　底をそろえて $a^x=t$ として, $t$ についての関数をつくる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　このとき, $t$ の定義域を再度定義し直すのを忘れない。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $t$ の定義域から最大値・最小値を求める。
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　必要なら, $t=a^x$ から最大値・最小値を与える $x$ の値を求める。

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