TikZ:高校数学:数III微分・平均値の定理

こんにちは。今回は平均値の定理について書いておきます。

平均値の定理

平均値の定理

関数f(x)が閉区間a\leqq x\leqq bで連続, 開区間a<x<bで微分可能ならば,
\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\,\, a<c<b
を満たすcが少なくとも1つは存在する。

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これの意味するところは, この区間ABにおいて, 直線ABに平行な接線が, 少なくとも1本は引けるということである。したがって, (直線ABの傾き)=(接線の傾き)という等式になっている。
また, よくある質問で, 閉区間で連続で, 開区間で微分可能という表現で, 閉区間で微分可能ではだめなのですか?とよく聞かれる。これは関数が閉区間a\leqq x\leqq bで定義されるとすると, 左端点aでは, 端点の左側の関数が定義されないので, 左端点aの左側極限が定義されず, 同様に, 右端点bでは, 端点の右側の関数が定義されないので, 右端点bの右側極限が定義されないことになる。よって, 端点では微分可能としていないのです。

問題を見てみよう

【例】平均値の定理を用いて, 極限\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}を求めよ。

【解答例】
x\to+0なので, x>0と考えてよい。このとき, \sin x<xである。
関数f(t)=e^tはすべての実数tにおいて微分可能である。また, f'(x)=e^xより, 閉区間\sin x\leqq x\leqq xにおいて平均値の定理を用いると,
\dfrac{e^x-\sin x}{x-\sin x}=e^c, \,\,\sin x< c< x
を満たすcが存在する。
ここで, \displaystyle\lim_{x\to+0}\sin x=0, \displaystyle\lim_{x\to+0}x=0であるから,
\displaystyle\lim_{x\to+0}c=0
よって,
\displaystyle\lim_{x\to+0}\dfrac{e^x-e^{\sin x}}{x-\sin x}=\displaystyle\lim_{x\to+0}e^c=e^0=1

【例】関数f(x)=x^3について, a>0,\, h>0のとき,
f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h), \,(0<\theta<1)
を満たす\thetaを, a, hで表せ。また, 極限\displaystyle\lim_{h\to+0}\thetaを求めよ。

【解答例】
f(x)=x^3より, f'(x)=3x^2であるから, これらを与式に代入すると,
(a+h)^3=a^3+3h(a+\theta h)^2
これを\thetaについて解く。条件よりa+\theta h>0であるから,
\begin{array}{rll}3h(a+\theta h)^2&=&(a+h)^3-a^3\\(a+\theta h)^2&=&\dfrac{(a+h)^3-a^3}{3h}\\a+\theta h&=&\sqrt{\dfrac{(a+h)^3-a^3}{3h}}\\a+\theta h&=&\sqrt{\dfrac{3a^2h+3ah^2+h^3}{3h}}\\a+\theta h&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}}{3}\\\theta h&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3}\\\theta&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3h}\cdots\maru1\end{array}
\maru1の右辺の分子の有理化を行うと,
\dfrac{(9a^2+9ah+3h^2)-(3a)^2}{3h\left(\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a\right)}=\dfrac{3a+h}{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a}
よって,
\displaystyle\lim_{h\to+0}\theta=\displaystyle\lim_{h\to+0}\dfrac{3a+h}{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}+3a}=\dfrac{3a}{\sqrt{9a^2}+3a}=\dfrac12
以上より,
\theta&=&\dfrac{\sqrt{9a^2+9ah+3h^2}-3a}{3h}
\displaystyle\lim_{h\to+0}\theta=\dfrac12

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