高校数学:数III微分・接線と法線の方程式

こんにちは。今回は接線, 法線の方程式に関することを書いておきます。

接線と法線の方程式

接線と法線の方程式

曲線y=f(x)上の点\mathrm{A}(a, f(a))における接線, 法線の方程式は,
【接線】
y=f'(a)(x-a)+f(a)
【法線】
y=-\dfrac{1}{f'(a)}(x-a)+f(a), \, \, (f'(a)\neq 0)
x=a, \, \, (f'(a)=0)

f'(a)が存在しなくても, x=t, y=sのような式で接線や法線が求められる場合がある。

問題を見てみよう

【例】曲線y=x^2+x上の点(-3, 6)における接線と法線の方程式を求めよ。

【解答例】f(x)=x^2+xとおくと, f'(x)=2x+1なので, f'(-3)=-5
したがって, 接線の方程式は,
y=-5\left\{x-(-3)\right\}+6
y=-5x-9
法線の方程式は,
y=-\dfrac{1}{-5}\left\{x-(-3)\right\}+6
y=\dfrac15x+\dfrac{33}{5}

【例】2つの曲線y=e^x, y=-e^{-x}に共通な接線の方程式を求めよ。

【解答例】f(x)=e^x, g(x)=-e^{-x}とおく,
曲線f(x)上の接点を\mathrm{P}(p, e^p)とおいて, 点\mathrm{P}を通る接線を考える。
f'(x)=e^x, なので, 接線の方程式は,
y=e^p(x-p)+e^p
y=e^p x+(1-p)e^p\cdots\maru1
同様に, 曲線g(x)上の接点を\mathrm{Q}(q, -e^{-q})とおいて, 点\mathrm{Q}を通る接線を考える。
g'(x)=e^{-x}なので, 接線の方程式は,
y=e^{-q}(x-q)-e^{-q}
y=e^{-q}x-(1+q)e^{-q}\cdots\maru2
\maru1\maru2は一致するので,
e^p=e^{-q}\cdots\maru3, (1-p)e^p=-(1+q)e^{-q}\cdots\maru4
\maru3より, p=-qで, これをq=-pとして\maru4に代入すると,
(1-p)e^p=-(1-p)e^p
1-p=-1+p
p=1
これを\maru1に代入して, y=ex
よって, 求める接線の方程式はy=ex

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