TikZ：高校数学：数III極限：関数と極限・中間値の定理

こんにちは。今回は中間値の定理について書いておきます。

中間値の定理

関数 $f(x)$ が閉区間 $a\leqq x\leqq b$ で連続で, $f(a)\neq f(b)$ ならば,
$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $\alpha$ に対して,
$f(c)=\alpha$ , $a<c<b$
を満たす $c$ が少なくとも1つ存在する。

f(a),f(b)が異符号なら

$f(a)$ と $f(b)$ が異符号なら, 次の事が言える。

実数解の存在

関数 $f(x)$ が区間 $a\leqq x\leqq b$ で連続で, $f(a)$ と $f(b)$ が異符号 $\left( f(a)\cdot f(b)<0 \right)$ なら,
方程式 $f(x)=0$ は区間 $a<x<b$ に少なくとも1つの実数解をもつ。

問題を見てみよう

【例】方程式 $x^3+2ax-a+1=0$ が, $1<x<2$ で少なくとも1つの実数解をもつように, 定数 $a$ の範囲を求めよ。

【解答例】 $f(x)=x^3+2ax-a+1$ とおくと, $f(x)$ は $1<x<2$ で連続であるから,
$f(1)$ と $f(2)$ の値が異符号であることが条件になる。
したがって, $f(1)\cdot f(2)<0\cdots\maru1$ が求める条件になる。
ここで, $f(1)=a+2$ , $f(2)=3a+9$ なので,
$\maru1$ より,
$(a+2)(3a+9)=3(a+2)(a+3)<0$
よって, 求める範囲は, $-3<a<-2$
※もし問題で, $1\leqq x\leqq 2$ のように不等号に等号が付いていたなら, 区間の端点を含む場合も入れるので, $f(1)\cdot f(2)\leqq 0$ とすればよい。