TikZ:高校数学:数III極限:関数と極限・中間値の定理

こんにちは。今回は中間値の定理について書いておきます。

中間値の定理

中間値の定理

関数f(x)が閉区間a\leqq x\leqq bで連続で, f(a)\neq f(b)ならば,
f(a)f(b)の間の任意の値\alphaに対して,
f(c)=\alpha, a<c<b
を満たすcが少なくとも1つ存在する。

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問題を見てみよう

【例】方程式x^3+2ax-a+1=0が, 1<x<2で少なくとも1つの実数解をもつように, 定数aの範囲を求めよ。

【解答例】f(x)=x^3+2ax-a+1とおくと, f(x)1<x<2で連続であるから,
f(1)f(2)の値が異符号であることが条件になる。
したがって, f(1)\cdot f(2)<0\cdots\maru1が求める条件になる。
ここで, f(1)=a+2, f(2)=3a+9なので,
\maru1より,
(a+2)(3a+9)=3(a+2)(a+3)<0
よって, 求める範囲は, -3<a<-2
※もし問題で, 1\leqq x\leqq 2のように不等号に等号が付いていたなら, 区間の端点を含む場合も入れるので, f(1)\cdot f(2)\leqq 0とすればよい。

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