高校数学:数III積分:アステロイド曲線と回転体の体積(東京都市大)

こんにちは。回転体の体積です。それではどうぞ。

東京都市大学

【問題】xy平面において\sqrt[3]{\mathstrut{x^2}}+\sqrt[3]{\mathstrut{y^2}}=1で定義された曲線が囲む領域を, x軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
【東京都市大】

解答・解説

\sqrt[3]{\mathstrut{x^2}}+\sqrt[3]{\mathstrut{y^2}}=1\to x^{\frac23}+y^{\frac23}=1であり, x-xにしても, y-yにしても式は変わらないので, x軸対称, かつ, y軸対称となる。
定義域は-1\leqq x\leqq 1であるが, 前途した内容から積分区間を[ 0, 1 ]として, その体積を2倍すればよい。
また, y^{\frac23}=1-x^{\frac23}より, 両辺3乗すると,
y^2=1-3x^{\frac23}+3x^{\frac43}-x^2であるから, 求める体積をVとすると,
\begin{array}{lll}V&=&2\pi\displaystyle\int_0^1y^2\,dx\\&=&2\pi\displaystyle\int_0^1\left(1-3x^{\frac23}+3x^{\frac43}-x^2\right)\, dx\\&=&2\pi\left[x-\dfrac95x^{\frac53}+\dfrac97x^{\frac73}-\dfrac13x^3\right]_0^1\\&=&2\pi\left(1-\dfrac95+\dfrac97-\dfrac13\right)\\&=&\dfrac{32}{105}\pi\end{array}
\dfrac{32}{105}\pi

ちなみにx^{\frac23}+y^{\frac23}=1で与えられる曲線はアステロイド曲線という。アステロイド曲線については以下の記事を参考にしてもらいたい。

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