高校数学：数III積分：アステロイド曲線と回転体の体積(東京都市大)

こんにちは。回転体の体積です。それではどうぞ。

東京都市大学

【問題】 $xy$ 平面において $\sqrt[3]{\mathstrut{x^2}}+\sqrt[3]{\mathstrut{y^2}}=1$ で定義された曲線が囲む領域を, $x$ 軸の周りに回転させてできる立体の体積を求めよ。
【東京都市大】

解答・解説

$\sqrt[3]{\mathstrut{x^2}}+\sqrt[3]{\mathstrut{y^2}}=1\to x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$ であり, $x$ を $-x$ にしても, $y$ を $-y$ にしても式は変わらないので, $x$ 軸対称, かつ, $y$ 軸対称となる。
定義域は $-1\leqq x\leqq 1$ であるが, 前途した内容から積分区間を $[ 0, 1 ]$ として, その体積を2倍すればよい。
また, $y^{\frac23}=1-x^{\frac23}$ より, 両辺3乗すると,
$y^2=1-3x^{\frac23}+3x^{\frac43}-x^2$ であるから, 求める体積を $V$ とすると,
$\begin{array}{lll}V&=&2\pi\displaystyle\int_0^1y^2\,dx\\&=&2\pi\displaystyle\int_0^1\left(1-3x^{\frac23}+3x^{\frac43}-x^2\right)\, dx\\&=&2\pi\left[x-\dfrac95x^{\frac53}+\dfrac97x^{\frac73}-\dfrac13x^3\right]_0^1\\&=&2\pi\left(1-\dfrac95+\dfrac97-\dfrac13\right)\\&=&\dfrac{32}{105}\pi\end{array}$
$\dfrac{32}{105}\pi$

ちなみに $x^{\frac23}+y^{\frac23}=1$ で与えられる曲線はアステロイド曲線という。アステロイド曲線については以下の記事を参考にしてもらいたい。