高校数学:三角形のおけるtanの定理

こんにちは。知っておくと便利な定理を紹介します。使う機会があるかどうかは問題を見てからになるでしょう。紹介するのは, 三角形のおける\tanの定理です。

三角形におけるtanの定理

三角形の3つの内角をA,\, B,\, Cとするとき, 成り立つ定理はこちら。

三角形におけるtanの定理

\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C

証明

三角形の3つの内角をA,\, B,\, Cとするとき, 加法定理から,
\begin{array}{lll}\tan( A + B + C )&=&\dfrac{\tan A+\tan( B + C )}{1-\tan A\tan( B + C)}\\&=&\dfrac{\tan A+\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}}{1-\tan A\times\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}}\\&=&\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}\cdots\maru1\end{array}
ここで, A + B + C=\piなので, \maru1の左辺の\tan( A + B + C )の値は\tan\pi=0
よって,
\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}=0となるので,
\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C=0となり,
これから,
\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C
を得る。

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