高校数学：三角形のおけるtanの定理

こんにちは。知っておくと便利な定理を紹介します。使う機会があるかどうかは問題を見てからになるでしょう。紹介するのは, 三角形のおける $\tan$ の定理です。

三角形におけるtanの定理

三角形の3つの内角を $A,\, B,\, C$ とするとき, 成り立つ定理はこちら。

三角形におけるtanの定理

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C$

証明

三角形の3つの内角を $A,\, B,\, C$ とするとき, 加法定理から,
$\begin{array}{lll}\tan( A + B + C )&=&\dfrac{\tan A+\tan( B + C )}{1-\tan A\tan( B + C)}\\&=&\dfrac{\tan A+\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}}{1-\tan A\times\dfrac{\tan B+\tan C}{1-\tan B\tan C}}\\&=&\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}\cdots\maru1\end{array}$
ここで, $A + B + C=\pi$ なので, $\maru1$ の左辺の $\tan( A + B + C )$ の値は $\tan\pi=0$
よって,
$\dfrac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-\tan A\tan B-\tan B\tan C-\tan C\tan A}=0$ となるので,
$\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C=0$ となり,
これから,
$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot\tan B\cdot\tan C$
を得る。