TikZ:高校数学:対数関数とグラフ

こんにちは。今回は対数のグラフについて書いておきます。

対数関数とグラフ

a>0, a\neq1のとき, y=\log_a xaを底とする対数関数と言います。対数関数は指数関数y=a^xと関数y=xについて対称な関係にあります。
これは, 対数関数と指数関数が逆関数の関係にあるためで, 逆関数というのは簡単に言えば,
y=f(x)で, x=aのとき, y=bであったものが, 逆関数y=g(x)ではx=bのとき, y=aとなるためです。詳しくは数Ⅲで学習します。
以下に底が1より大きい場合として, y=\log_2 x, y=2^xのグラフを描いてみます。赤丸と青丸の座標はy=xについて対称になっています。

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次に底が1より小さい場合を描いてみます。
y=\log_{\frac12}xy=\left(\dfrac12\right)^xのグラフです。赤丸と青丸の座標はy=xについて対称になっています。

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このとき, y=\log_p xy=\log_{\frac1p} x (p>1)とするなら, この2つのグラフはx軸について対象な関係になっています。

対数関数のグラフについて
a>0, a\neq1のとき, y=\log_a xのことを, aを底とする対数関数という。
\textcircled{\scriptsize 1}\hspace{2mm}a>1(底が1より大きい)のとき, 右上がりの曲線
\textcircled{\scriptsize 2}\hspace{2mm}0<a<1(底が0と1の間の数)のとき, 右下がりの曲線
となる。このとき, \textcircled{\scriptsize 1}, \textcircled{\scriptsize 2}ともy軸が漸近線である。
漸近線とは, 十分遠くで曲線との距離が0に近づき, かつ曲線と一致しない直線のことを指す。

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