高校数学:対数を含む方程式

こんにちは。今回は対数を含む方程式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

対数を含む方程式

【例①】方程式\log_4 x=3を解け。
【解法】x=\log_a M\Longleftrightarrow a^x=Mなので,
x=4^3
x=64\cdots(答) これは, x>0を満たす。
感覚的に解が4^3と分かるように練習を積みましょう。

【例②】方程式\log_2 (x-1)+\log_2 (x-3)=3を解け。
【解法】真数条件より, x-1>0, x-3>0から, x>3\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
右辺の3を書き換えると\log_2 3^3=\log_2 8となり,
対数の性質から与式は次のようになる。
\log_2 (x-1)(x-3)=\log_2 8
ここで, 両辺の対数を除くと,
(x-1)(x-3)=8
x^2-4x-5=0
(x-5)(x+1)=0
\textcircled{\scriptsize 1}より,
x=5\cdots(答)
真数条件に気を付けて解きましょう。
両辺の底をそろえた対数をとることで, 真数部のみを考えた一般的な方程式に帰着させましょう。

対数を含む方程式について
\bullet対数が1つなら, x=\log_a M\Longleftrightarrow a^x=Mを用いる。
もしくは, \log_ap=\log_aq\Longleftrightarrow p=q を用いる。
\bullet対数が2つ以上あるときは,
\textcircled{\scriptsize 1} 真数条件(真数>0)より, 解の範囲を決める。
\textcircled{\scriptsize 2} 対数の性質, \log_a M+\log_a N=\log_a MNを使って, 右辺と左辺の対数をまとめる。
\textcircled{\scriptsize 3} 対数を取り除いた真数部分での方程式を解く。\log_ap=\log_aq\Leftrightarrow p=q
\textcircled{\scriptsize 4} \textcircled{\scriptsize 2}の真数条件にあう答えの吟味をする。 

【例③】不等式\left(\log_3 x\right)^2-\log_3 x^3-4=0を解け。
【解法】真数条件より,x>0, x^3>0より, x>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
与式を書き換えると,
\left(\log_3 x\right)^2-3\log_3 x-4=0
\log_3 x=tと置くと,
t^2-3t-4=0
(t-4)(t+1)=0
t=4, -1
すなわち,
\log_3x=4より, x=3^4=81
\log_3x=-1より, x=3^{-1}=\dfrac13
これは, \textcircled{\scriptsize 1}を満たす。
よって,
x=81,\dfrac13\cdots(答)

対数を含む二次方程式について
\textcircled{\scriptsize 1} \log_a x=tと置いてtの2次方程式をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} \log_a x=t\Longleftrightarrow x=a^tを用いて, 解を求める。

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