高校数学：二項定理：(x-1)⁹⁹をx²で割ったあまり

2024年8月28日2024年8月29日

こんにちは。早速やってみましょう。

問題

【問題】 $(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割ったあまりを求めよ。

解答・解説

【解答】 $99x-1$
【解説】
$(x-1)^{99}$ を2項定理を用いて展開すると,
$\begin{array}{lll}&&_{99}\text{C}_{0}x^{99}\cdot(-1)^0+_{99}\text{C}_{1}x^{98}\cdot(-1)^1+\cdots+_{99}\text{C}_{97}x^2\cdot(-1)^{97}+_{99}\text{C}_{98}x^1\cdot(-1)^{98}+_{99}\text{C}_{99}x^0\cdot(-1)^{99}\\&=&x^2\left\{{99}\text{C}_{0}x^{97}-_{99}\text{C}_{1}x^{96}+\cdots-_{99}\text{C}_{97}\right\}+99x-1\end{array}$
よって, $99x-1$

別解　数IIIの範囲を含む

$(x-1)^{99}$ を $x^2$ で割ったときの商を $Q(x)$ , 余りを $ax+b$ とすると,
$(x-1)^{99}=x^2\cdot Q(x)+ax+b\cdots\maru1$
$x=0$ を代入すると,
$b=-1$
$\maru1$ の両辺を $x$ で微分すると,
$99(x-1)^{98}=2x\cdot Q(x)+x^2\cdot Q'(x)+a$
$x=0$ とすると,
$a=99$
よって, $99x-1$