高校数学：数列：数列の一般項の問題(東北学院大学)

こんにちは。理屈がわかれば平易ですかね？それではいきましょう。

2020東北学院大学

【問題】数列 $\{a_n\}$ を $7,\, 77,\, 777,\, 7777,\, 77777,\, \cdots$ とするとき, 一般項を $n$ を使って表すと $a_n=$ 【　　】である。
【東北学院大学】

解答例

【解答例】
この手の問題は, この場合だと7で割って全部1にして考えると見通しが立つことがある。
実際, 数列を7で割ると,
$1,\, 11,\, 111,\, 1111,\, 11111,\, \cdots$
これを細かく分解すると
$1,\, 1+10,\, 1+10+100,\, 1+10+100+1000,\, 1+10+100+1000+10000,\ \cdots$
となり, これは初項1, 公比10の等比数列 $\cdots\maru1$ の和になっていることがわかる。
したがって, それを求めて7倍すればよい。
$\maru1=10^{n-1}$ なので, その第 $n$ 項までの和は,
$\dfrac{10^n-1}{10-1}=\dfrac{10^n-1}{9}$
これを7倍すればいいので, 求める数列の一般項 $a_n$ は,
$a_n=\dfrac{7}{9}(10^n-1)\cdots$ (答)

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