emath:高校数学:円の接線の公式と基本的な証明

こんにちは。今回は円の接線の公式について触れておきます。基本的な証明かどうかは分かりませんが, 証明を載せておきます。

円の接線の公式

円の接線の公式(接点が与えられている)
(A)円x^2+y^2=r^2上の点(x_0, y_0)における接線の方程式
x_0x+y_0y=r^2
(B)円(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上の点(x_1, y_1)における接線の方程式
(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2

(A)の証明

円の式をx^2+y^2=r^2とし, 接点をP(x_0, y_0)とすると, 直線OPの傾きは\dfrac{y_0}{x_0}であるから,
接線の方程式\ellの傾きmは, m\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-1なので, m=-\dfrac{x_0}{y_0},
傾き-\dfrac{x_0}{y_0}で点(x_0, y_0)を通るので, \ellの式は
y=-\dfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)+y_0
両辺y_0かけて整理すると,
x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
となりますが, P(x_0,y_0)は円x^2+y^2=r^2上の点なので, x_0^2+y_0^2=r^2が成り立ちます。
したがって, \textcircled{\scriptsize 1}
x_0x+y_0y=r^2
となり, 公式を得ます。

使い方の例
【例題】円x^2+y^2=25上の点(4, 3)における接線の方程式を求めよ。
【解答】4x+3y=25\cdots(答)

続いて(B)の証明
中心が(a, b)半径がrの円, 接点がP_1(x_1, y_1)の場合,

証明するのに, 先ほど証明した接線の方程式x_0x+y_0y=r^2を平行移動して考えます。
つまり,
中心O(0, 0)\longrightarrowO_1(a, b),
接点P(x_0, y_0)\longrightarrowP_1(x_1, y_1)
に移動します。
このとき円の中心が原点で半径がr, 接点P(x_0, y_0)における接線の方程式x_0x+y_0y=r^2\cdots\textcircled{\scriptsize 2}x軸方向にa, y軸方向にb平行移動しているので, \textcircled{\scriptsize 2}をそのように平行移動させると,
x_0(x-a)+y_0(y-b)=r^2\cdots\textcircled{\scriptsize 3}
このとき, 各点もx軸方向にa, y軸方向にb平行移動しているので, x_0, y_0x_1, y_1の間には次のような関係式が成り立ちます。
x_1=x_0+a
y_1=y_0+b
これから,
x_0=x_1-a
y_0=y_1-b
これらを\textcircled{\scriptsize 3}に代入し,
(x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2
を得る。

使い方の例
【例題】円(x+3)^2+(y-4)^2=5上の点(-1, 3)における接線の方程式を求めよ。
【解答】(-1+3)(x+3)+(3-4)(y-4)=5
2x+6-y+4=5
2x-y+5=0\cdots(答)

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