整数問題：約数①

2020年2月9日2022年12月20日

こんにちは。相城です。

約数の基本問題を少し。定期テストに向けてご利用ください。
さて問題です。

(1)　20の正の約数をすべて求めよ。
(2)　36の約数をすべて求めよ。
(3)　72の正の約数の個数を求めよ。
(4)　400の正の約数の総和を求めよ。
(5)　12の倍数で正の約数の個数が10個である自然数を求めよ。

答え

(1) 1, 2, 4, 5, 10, 20
(2) ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36
(3) $72=2^3\times3^2$
$(3+1)\timse(2+1)=12$ (個)
(4) $400=2^4\times5^2$ より正の約数の総和は
$(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4)\times(5^0+5^1+5^2)=31\times31=961$
961
(5) $12=2^2\times3$
正の約数の個数が10個ということは
$2^a\times3^b$ とすると $a\geqq2,\ b\geqq1$ なので
$(a+1)\times (b+1)=10$ としたとき, $a\geqq2$ より
$a+1=5$ で $b+1=2$ となること以外正の約数の個数が10個になることはないので, $a=4, b=1$
したがって、 $2^4\times3=48$
48

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