TikZ:2019年度・福島県:立体の問題

こんにちは。相城です。久しぶりにこういう問題解いたので苦戦したなぁという感想です。面白い問題ですので、それではどうぞ。

下の図のような、1辺12cmの正四面体OABCがあります。辺BCの中点をMとする。このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) 線分OMの長さを求めなさい。
(2) 辺OCの中点をDとし、辺OB上に線分AEと線分EDの長さの和が最も小さくなるように点Eをとる。また、線分AM上にAP : PM=4 : 5となる点Pをとり、3点A、D、Eを通る平面と線分OPとの交点をQとする。
① 線分OMと線分DEとの交点をRとするとき、線分ORと線分RMの長さの比を求めなさい。
② 三角錐QPBCの体積を求めなさい。

Rendered by QuickLaTeX.com

答え
(1) OMは1辺12cmの正三角形の高さなので、6\sqrt{3}cm
(2) ①

Rendered by QuickLaTeX.com

Mを通りOCに平行な線分KMを引く、KMとADの交点をLとすると、
KLは△ADOで中点連結定理より3、これからML=9、またOD=6で△ODR∽△MLRで相似比はOD : ML=6 : 9=2 : 3=OR : RM。
よって2 : 3・・・答え

Rendered by QuickLaTeX.com

△OAMを書き出すと、

Rendered by QuickLaTeX.com

これより、OP : QP=5 : 2。すなわち求める三角錐の高さは三角錐OABCの\dfrac{2}{5}倍・・・①。
こんどは底面の正三角形を真上から見ると、下図のようになり、三角錐QPBCの底面である△PBCは正三角形ABCの\dfrac{5}{9}倍・・・②であることが分かる。

Rendered by QuickLaTeX.com

①、②より、求める体積は正四面体OABCの体積の
\dfrac{2}{5}\times\dfrac{5}{9}=\dfrac{2}{9}倍。
したがって、
三角錐QPBC
=12\times 6\sqrt{3}\times\dfrac{1}{2}\times 4\sqrt{6}\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{9}=32\sqrt{2}
32\sqrt{2}cm^3・・・答え


2 COMMENTS

O.S

Tikzの問題を普通にプリントアウトしたいです
他の問題のように問題だけのページも作って欲しいです!

返信する
mathtext

今のところ時間的なことにより不可能です。時間に余裕ができれば考えてみます。すみませんがご理解のほどを。

返信する

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。(スパム対策)