高校数学:対数を含む不等式

こんにちは。今回は対数を含む不等式について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

対数を含む不等式

【例①】不等式\log_4 x<3を解け。
【解法】真数条件よりx>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
3を\log_4を用いて表すと\log_4 4^3=\log_4 64なので, 与式は,
\log_4 x<\log_4 64となる。
底は1より大きいので, これを解くとx<64
これと, \textcircled{\scriptsize 1}から
0<x<64\cdots(答)

【例②】不等式\log_2 x+\log_2 (x-7)<3を解け。
【解法】真数条件より, x>0, x-7>0より, x>7\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
3を\log_2を用いて表すと, \log_2 2^3=\log_2 8で,
対数の性質を用いて, 与式を書き換えると,
\log_2 x(x-7)<\log_2 8
底が1より大きいことから, 対数を取り除いて,
x(x-7)<8
x^2-7x-8<0
(x-8)(x+1)<0
-1<x<8
これと\textcircled{\scriptsize 1}から,
7<x<8\cdots(答)

【例③】不等式2\log_{\frac12}(x-2)>\log_{\frac12}(x+4)を解け。
【解法】与式を書き換えると,
\log_{\frac12}(x-2)^2>\log_{\frac12}(x+4)
真数条件より, x-2>0, x+4>0より, x>2\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
底が1より小さいので, 真数部分の大小関係に気を付けると,
(x-2)^2<(x+4)
x^2-4x+4<x+4
x^2-5x<0
x(x-5)<0
0<x<5
これと\textcircled{\scriptsize 1}から,
2<x<5\cdots(答)

対数を含む不等式について
\bullet対数が1つなら, \log_a p>\log_a qを使ってみよう。
このとき, 底aが1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
a>1のとき, \log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<p<q
0<a<1のとき, \log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<q<p
\bullet対数が2つ以上あるときは,
\textcircled{\scriptsize 1} 真数条件(真数>0)より, 解の範囲を決める。
\textcircled{\scriptsize 2} 対数の性質, \log_a M+\log_a N=\log_a MNを使って, 右辺と左辺の対数をまとめる。
\textcircled{\scriptsize 3} 対数を取り除いた真数部分での方程式を解く。
\textcircled{\scriptsize 4} \textcircled{\scriptsize 2}の真数条件にあう答えの吟味をする。 
このとき, 底aが1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
a>1のとき, \log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<p<q
0<a<1のとき, \log_a p<\log_a q\Longleftrightarrow 0<q<p

【例④】不等式\left(\log_2 x\right)^2-\log_2 x^3-4\leqq0を解け。
【解法】真数条件より,x>0, x^3>0より, x>0\cdots\textcircled{\scriptsize 1}
与式を書き換えると,
\left(\log_2 x\right)^2-3\log_2 x-4\leqq0
\log_2 x=tと置くと,
t^2-3t-4\leqq0
(t-4)(t+1)\leqq0
-1\leqq t\leqq4
すなわち,
-1\leqq\log_2 x\leqq4
\log_2 2^{-1}\leqq\log_2 x\leqq\log_2 2^4
底は1より大きいので,
\dfrac12\leqq x\leqq16
これと\textcircled{\scriptsize 1}から,
\dfrac12\leqq x\leqq16\cdots(答)

対数を含む二次不等式について
\textcircled{\scriptsize 1} \log_a x=tと置いてtの2次不等式をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} \log_a x=t\Longleftrightarrow x=a^tを用いて, 解を求める。
このとき, 底aが1より大きいか, 小さいかで不等号の向きが変わる。
a>1のとき, \log_a x<\log_a p\Longleftrightarrow x<p
0<a<1のとき, \log_a x<\log_a p\Longleftrightarrow x>p
これと合わせて, 真数条件のx>0の考慮を忘れないこと。

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