TikZ:高校数学:対数関数を含む関数の最大値・最小値

こんにちは。今回は対数関数を含む関数の最大値・最小値について書いておきます。例題を解きながら見ていきます。

log_a(x)=tとおいてtの関数で考える

【例】関数y=\left(\log_2 x\right)^2-4\log_2 x+1 2\leqq x\leqq 16の最大値と最小値を求め, そのときのxの値も答えよ。
【解法】\log_2 x=tと置くと,
\log_2 2\leqq \log_2 x\leqq \log_2 16\longrightarrow 1\leqq t\leqq 4である。
また, 関数は
y=t^2-4t+1となるので, 平方完成すると,
y=(t-2)^2-3 1\leqq t\leqq 4
グラフを描いて, 最大値, 最小値を求めると,

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最小値はt=2のとき, -3, 最大値はt=4のとき, 1
t=2より, \log_2 x=2\longrightarrow x=4
t=4より, \log_2 x=4\longrightarrow x=16
よって,
最小値はx=4のとき, -3
最大値はx=16のとき, 1

対数を含む二次不等式について
\textcircled{\scriptsize 1} \log_a x=tと置いてtの関数をつくる。
\textcircled{\scriptsize 2} xの定義域から, tの定義域を求める。
\textcircled{\scriptsize 3} グラフを描いて最大値, 最小値を求める。
\textcircled{\scriptsize 4} 必要なら, 最大値, 最小値を与えるtの値から, xの値を求める。


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