高校数学：常用対数と計算

こんにちは。今回は常用対数について少しだけ書いて, 計算練習しておきます。

常用対数とは

常用対数とは底を10とした場合の対数のことを言います。すなわち10を何乗すればその値になるかを表したものになります。
$10^x=M$ 　 $M>0$ の両辺を底を10として対数をとると,
$x=\log_{10}M$
具体例を書くと,
$10^x=3\Longleftrightarrow x=\log_{10}3=0.4771212547\cdots$
となります。

常用対数

$M>0$ とするとき,
$M=10^x\Longleftrightarrow x=\log_{10}M$ (対数の定義から)
$10$ を何乗したら $M$ になるか表した数 $x$ を常用対数と言います。
言い換えると, 底を $10$ としたときの $M$ の常用対数を $x$ , と言えます。

こちらに常用対数の表を置いておきます。
常用対数の表の見方は以下の画像をご参照ください。例として1.53の常用対数を示しています。この場合, 0.1847が常用対数になります。

常用対数を用いた計算

次に常用対数を使った計算を書いておきます。
例題を見ながら書いておきます。
【例】 $\log_{10}2=0.3010, \log_{10}3=0.4771$ として, $\log_{10}12$ , $\log_{10}5, \log_2 3$ の値を小数第4位まで求めなさい。
【解法】
$\begin{array}{lll}\log_{10}12&=&\log_{10}\left(2^2\times3\right)\\&=&2\log_{10}2+\log_{10}3\\&=&2\times0.3010+0.4771\\&=&1.0791\end{array}$
$\begin{array}{lll}\log_{10}5&=&\log_{10}\dfrac{10}{2}\\&=&\log_{10}10-\log_{10}2\\&=&1-0.3010\\&=&0.6990\end{array}$
$\begin{array}{lll}\log_2{3}&=&\dfrac{\log_{10}3}{\log_{10}2}\\&=&\dfrac{0.4771}{0.3010}\\&=&1.58504\cdots\\&=&1.5850\end{array}$

対数の性質

$a>0, b>0, c>0, M>0, N>0, a\neq1, c\neq1$ とすると,
$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　 $\log_a{a}=1$
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　 $\log_a{1}=0$
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $\log_a M^p=p\log_a M$ 　【 $p$ 乗⇔ $p$ 倍】
$\textcircled{\scriptsize 4}$ 　 $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$ 　【積⇔和】
$\textcircled{\scriptsize 5}$ 　 $\log_a\dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$ 　【商⇔差】
$\textcircled{\scriptsize 6}$ 　 $\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ 　【底の変換公式】
特に $c=b$ なら, $\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}$
が成り立つ。