高校数学：常用対数と自然数の桁数

こんにちは。今回は常用対数と桁数の関連について書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

常用対数と桁数

【例①】自然数 $N$ が次の桁数のとき, $\log_{10}N$ の範囲を求めなさい。
(1)　3桁　(2)　12桁
【解法】
(1)　3桁ということは自然数 $N$ の範囲は $100\leqq N<1000$ となります。
この不等式の各辺の常用対数をとると,
$\log_{10}100\leqq\log_{10}N<\log_{10}1000$
$\log_{10}10^2\leqq\log_{10}N<\log_{10}10^3$
$2\leqq\log_{10}N<3\cdots$ (答)
(2)　12桁ということは自然数 $N$ の範囲は $10^{11}\leqq N<10^{12}$
この不等式の各辺の常用対数をとると,
$\log_{10}10^{11}\leqq\log_{10}N<\log_{10}10^{12}$
$11\leqq\log_{10}N<12\cdots$ (答)

このように自然数 $N$ が $n$ 桁の数であるなら, $N$ の範囲は $10^{n-1}\leqq N<10^n$ の範囲になります。
これに対して, 各辺の常用対数をとると,
$\log_{10}10^{n-1}\leqq \log_{10}N<\log_{10}10^n$
$n-1\leqq N<n$
つまり, 自然数 $N$ が $n$ 桁 $\Longleftrightarrow n-1\leqq \log_{10}N<n$

常用対数と桁数

自然数 $N$ が $n$ 桁 $\Longleftrightarrow n-1\leqq \log_{10}N<n$

実際何桁か調べてみよう

【例②】 $3^{20}$ は何桁の数か, $\log_{10}3=0.4771$ として, 計算せよ。
【解法】
$3^{20}=N$ として, 両辺の常用対数をとると,
$\begin{array}{lll}20\log_{10}3&=&\log_{10}N\\\log_{10}N&=&20\times0.4771\\&=&9.542\end{arry}$
これより, $9<\log_{10}N(9.542)<10$ なので,
10桁の数となります。

常用対数と桁数

$\textcircled{\scriptsize 1}$ 　求める自然数が $N=a^x$ のとき, その常用対数をとる。
$\textcircled{\scriptsize 2}$ 　与えられている数値をもとに $\log_{10}N$ を計算する。
$\textcircled{\scriptsize 3}$ 　 $n-1\leqq \log_{10}N<n\Longleftrightarrow$ 自然数 $N$ が $n$ 桁を用いて何桁か求める。