高校数学:常用対数と自然数の桁数

こんにちは。今回は常用対数と桁数の関連について書いておきます。例題を解きながら見ていきましょう。

常用対数と桁数

【例①】自然数Nが次の桁数のとき, \log_{10}Nの範囲を求めなさい。
(1) 3桁 (2) 12桁
【解法】
(1) 3桁ということは自然数Nの範囲は100\leqq N<1000となります。
この不等式の各辺の常用対数をとると,
\log_{10}100\leqq\log_{10}N<\log_{10}1000
\log_{10}10^2\leqq\log_{10}N<\log_{10}10^3
2\leqq\log_{10}N<3\cdots(答)
(2) 12桁ということは自然数Nの範囲は10^{11}\leqq N<10^{12}
この不等式の各辺の常用対数をとると,
\log_{10}10^{11}\leqq\log_{10}N<\log_{10}10^{12}
11\leqq\log_{10}N<12\cdots(答)

このように自然数Nn桁の数であるなら, Nの範囲は10^{n-1}\leqq N<10^nの範囲になります。
これに対して, 各辺の常用対数をとると,
\log_{10}10^{n-1}\leqq \log_{10}N<\log_10{10^n}
n-1\leqq N<n
つまり, 自然数Nn\Longleftrightarrow n-1\leqq \log_{10}N<n

常用対数と桁数
自然数Nn\Longleftrightarrow n-1\leqq \log_{10}N<n

実際何桁か調べてみよう

【例②】3^{20}は何桁の数か, \log_{10}3=0.4771として, 計算せよ。
【解法】
3^{20}=Nとして, 両辺の常用対数をとると,
\begin{array}{lll}20\log_{10}3&=&\log_{10}N\\\log_{10}N&=&20\times0.4771\\&=&9.542\end{arry}
これより, 9<\log_{10}N(9.542)<10なので,
10桁の数となります。

常用対数と桁数
\textcircled{\scriptsize 1} 求める自然数がN=a^xのとき, その常用対数をとる。
\textcircled{\scriptsize 2} 与えられている数値をもとに\log_{10}Nを計算する
\textcircled{\scriptsize 3} n-1\leqq \log_{10}N<n\Longleftrightarrow自然数Nn桁を用いて何桁か求める。

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