TikZ：高校数学：三角関数を含む方程式の解の個数について

こんにちは。三角関数を含む方程式の解の個数についての解法を記しておきます。例題をやりながら見ていきましょう。

例題

【例題】 $0\leqq\theta<2\pi$ のとき, 方程式 $2\cos^2\theta-2\sin\theta-a=0$ の解の個数を, 定数 $a$ の値によって分類しなさい。

解答例

【方針】定数分離の考え方を用いる。
定数分離とは等式を定数と定数でない部分に分けることを言い, 今回の場合なら, 等式を
$2\cos^2\theta-2\sin\theta=a$
と定数部分を右辺に移項する。そして,
$y=2\cos^2\theta-2\sin\theta$ と $y=a$ の交点の個数から, 方程式の解の個数を調べる方法のことである。
【解答例】
等式を $2\cos^2\theta-2\sin\theta=a$ とし,
$y=2\cos^2\theta-2\sin\theta\cdots\maru1$ と $y=a$ とする。
$\maru1$ は $\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$ より,
$\begin{array}{lll}y&=&2\left(1-\sin^2\theta\right)-2\sin\theta\\&=&-2\sin^2\theta-2\sin\theta+2\end{array}$
となる。ここで, 考えやすいように, $\sin\theta=t$ とおくと,
$y=-2t^2-2t+2$ となり,
$0\leqq\theta<2\pi$ より, $-1\leqq t\leqq1$ となる。
平方完成すると,
$y=-2\left(t+\dfrac12\right)^2+\dfrac52$
$-1\leqq t\leqq1$ の範囲でグラフをかくと,

となる。
これと $y=a$ の交点を見ていくと,
(A) $a=-2$ のとき, 下図のように交点は1つで, そのときの $t$ の値は $t=1$ である。 $t=\sin\theta$ なので, $\sin\theta=1$ となる $\theta$ の値は $\theta=\dfrac{\pi}{2}$ と1つ存在する。よって, $a=-2$ のときは解の個数は1つとなる。

(B) $-2<a<2$ のとき, 下図のように交点は1つで, そのときの $t$ の値は $0<t<1$ である。 $t=\sin\theta$ なので, $0<\sin\theta<1$ となる $\theta$ の値は2つ存在する。よって, $-2<a<2$ のときは解の個数は2つとなる。

(C) $a=2$ のとき, 下図のように交点は2つで, そのときの $t$ の値は $t=0, -1$ である。 $t=\sin\theta$ なので, $\sin\theta=0, -1$ となる $\theta$ の値は $\sin\theta=0$ のとき, $\theta=0, \pi$ , $\sin\theta=-1$ のとき, $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$ となり, 解は3つ存在する。よって, $a=2$ のときは解の個数は3つとなる。

(D) $2<a<\dfrac52$ のとき, 下図のように交点は2つで, そのときの $t$ の値は $-1<t<-\dfrac12$ と $-\dfrac12<t<0$ である。 $t=\sin\theta$ なので, $-1<\sin\theta<-\dfrac12$ となる $\theta$ の値は2つ存在する。また, 同様に, $-\dfrac12<\sin\theta<0$ となる $\theta$ は2つ存在する。よって, $2<a<\dfrac52$ のときは解の個数は4つとなる。

(E) $a=\dfrac52$ のとき, 下図のように交点は1つで, そのときの $t$ の値は $t=-\dfrac12$ である。 $t=\sin\theta$ なので, $\sin\theta=-\dfrac12$ となる $\theta$ の値は $\theta=\dfrac{7}{6}\pi, \dfrac{11}{6}\pi$ と2つ存在する。よって, $a=\dfrac52$ のときは解の個数は2つとなる。

以上(A)～(E)をまとめると,
$a=-2$ のときは解の個数は1つ
$-2<a<2$ , $a=\dfrac52$ のときは解の個数は2つ
$a=2$ のときは解の個数は3つ
$2<a<\dfrac52$ のときは解の個数は4つ
となる。

押さえておくべきポイント

$\maru1$ 今回のような定数分離の解法は頻出なので, しっかりと押さえておくこと。
$\maru2$ $\sin\theta$ や $\cos\theta$ の解が1や $-1$ になる $\theta$ の値は基本1つしかなく, それ以外は1つの値に対して, それを満たす $\theta$ の値は基本2つあることもことも押さえておきましょう。

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