高校数学：三角関数を含む関数の最大値・最小値③

こんにちは。今回は三角関数の関数で, 合成を用いる場合の最大値・最小値を見ていきましょう。それではどうぞ。

例題

【例題】 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき, 関数 $y=3\sin^2 x+2\sqrt3\sin x\cos x+5\cos^2 x$ の最大値と最小値を求めよ。また, そのときの $x$ の値を求めよ。

解答例

【方針】
方針としては, $\sin x$ または $\cos x$ のみで関数を表せそうにないことに着目。理由は $\sin x\cos x$ の項があるから。したがって, $\sin x+\cos x=t$ とおいて, 両辺2乗して話を進めるか, $\sin2x=2\sin x\cos x$ なので, それを用いて, 三角関数の合成に持ち込むかの2択になりそうである。
$\sin x+\cos x=t$ とおいた場合, $3\sin^2x$ , $5\cos^2x$ の処理が困るので, 選択肢としては不適となる。したがって, $\sin2x=2\sin x\cos x$ , $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ , $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ を用いて, 三角関数の合成に持ち込む。
【解答例】
$\sin^2 x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$ , $\ \cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$ , $\ 2\sin x\cos x=\sin2x$ より,
$\begin{array}{lll}y&=&3\cdot\dfrac{1-\cos2x}{2}+\sqrt3\sin2x+5\cdot\dfrac{1+\cos2x}{2}\\&=&\sqrt3\sin2x+\cos2x+4\\&=&2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2x+\dfrac12\cos2x\right)+4\\&=&2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+4\end{array}$
$0\leqq x\leqq\pi$ より, $\dfrac{\pi}{6}\leqq 2\pi+\dfrac{\pi}{6}\leqq\dfrac{13}{6}\pi$ だから,
$y=2\sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+4$ は,
$2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}$ で最大値 $2+4=6$
$2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3}{2}\pi$ で最小値 $-2+4=2$
をとる。
よって,
$x=\dfrac{\pi}{6}$ で最大値6, $x=\dfrac{2}{3}\pi$ で最小値2
となる。

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例題

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