高校数学：二項分布：点の移動と二項分布

こんにちは。点の移動において, 二項分布をどう考えていけばいいか押さえておきましょう。

点の移動と二項分布

【問題】数直線上の原点に点Pがある。今, さいころを投げて4以下の目が出たら点Pは数直線上の正の方向へ2だけ進み, 5以上の目が出たら点Pは数直線上の負の方向に1だけ進むとする。さいころを200回投げたとき, 点Pの座標を $X$ とする。 $X$ の期待値 $E(X)$ , 分散 $V(X)$ を求めよ。

解答・解説

【解答】
$E(X)=200, V(X)=400$
【解説】
4以下の目が出る確率 $\dfrac23$ , 5以上の目が出る確率 $\dfrac13$
4以下の目が出る回数を $Y$ 回とすると, 点Pの座標は
$X=2Y-(200-Y)=3Y-200$ となる。
$Y=r$ となる確率 $P(Y=r)$ は,
$P(Y=r)=_{200}\text{C}_r\left(\dfrac23\right)^r\left(\dfrac13\right)^{200-r}$
と表せるので, 確率変数 $Y$ は二項分布 $\left(200,\dfrac23\right)$ に従う。
よって,
$E(Y)=200\times\dfrac23=\dfrac{400}{3}$
$V(Y)=200\times\dfrac23\times\dfrac13=\dfrac{400}{9}$
ここで,
$E(X)=E(3Y-200)$ より,
$E(X)=3E(Y)-200=3\times\dfrac{400}{3}-200=200$
$V(X)=V(3Y-200)$ より,
$V(X)=3^2V(X)=9\times\dfrac{400}{9}=400$
以上より,
$E(X)=200, V(X)=400\cdots$ (答)