高校数学：数III微分・合成関数の微分法

こんにちは。今回は合成関数の微分について書いておきます。

合成関数の微分の考え方

合成関数は $y=f(g(x))$ と表される関数ですが, ここではわかりやすく, $y=f(u), u=g(x)$ とします。このとき, 合成関数 $y=f(g(x))$ は $y=f(u)$ となり, $y$ は $u$ の関数で, $u$ は $x$ の関数です。この場合, $\dfrac{dy}{dx}$ は次のように変形して求められます。
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\cdots\maru1$
$\maru1$ の $y$ を $f(u)$ , $u$ を $g(x)$ で置き換えると,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{df(u)}{du}\cdot\dfrac{dg(x)}{dx}=f'(u)\cdot g'(x)$
となります。
これは, 関数 $f(u)$ をそのまま微分して, その後, 関数 $f(u)$ の中身を微分してかけることを意味しています。
特に,
$\left[\left\{f(x)\right\}^n\right]'=n\left\{f(x)\right\}^{n-1}\cdot f'(x)\cdots\maru2$
が成り立つ。
実際に例題をやってみましょう。

【例】関数 $y=(x^2+5)^6$ を微分せよ。

【解答】上の説明で $u$ にあたるのが, $x^2+5$ なので, $y=u^6$ として, $u$ で微分すると,
$y'=\dfrac{dy}{du}=6u^5=6(x^2+5)^5$
となって, 次に $u=x^2+5$ を $x$ で微分して,
$u'=\dfrac{du}{dx}=2x$
となるので,
$\begin{array}{lll}\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}\\&=&6(x^2+5)^5\cdot2x\\&=&12x(x^2+5)^5\end{array}$
となります。
次に上の $\maru2$ を使った解答例を示します。
$\begin{array}{lll}y'&=&6(x^2+5)^{6-1}\cdot(x^2+5)'\\&=&6(x^2+5)^5\cdot2x\\&=&12x(x^2+5)^5\end{array}$
となります。

【例】関数 $y=x^2(2x+1)^3$ を微分せよ。

【解答】
$\begin{array}{lll}y'&=&(x^2)'(2x+1)^3+x^2\left\{(2x+1)^3\right\}'\\&=&2x(2x+1)^3+x^2\cdot3(2x+1)^{3-1}\cdot(2x+1)'\\&=&2x(2x+1)^3+6x^2(2x+1)^2\\&=&2x(2x+1)^2\left\{(2x+1)+3x\right\}\\&=&2x(5x+1)(2x+1)^2\end{array}$

合成関数の微分のちょっとしたテクニック

$y=\sqrt[n]{\left\{f(x)\right\}^m}$ は $y=\left\{f(x)\right\}^{\frac{m}{n}}$ として微分を行うとよい。
また, $y=\dfrac{1}{\left\{f(x)\right\}^n}$ は $y=\left\{f(x)\right\}^{-n}$ として微分を行うとよい。
この2つの微分においての考え方は前述した上の $\maru2$ の方法で行うものとします。
例題をやってみましょう。

【例】関数 $y=x\sqrt[3]{x^2}$ を微分せよ。

【解答】 $y=\sqrt[3]{x^5}\left=x\right^{\frac{5}{3}}$ なので,
$\begin{array}{lll}y'&=&\dfrac{5}{3}\cdot x\right^{\frac53-1}\cdot(x)'\\&=&\dfrac{5}{3}\cdot x\right^{\frac23}\cdot1\\&=&\dfrac{5}{3}\sqrt[3]{x^2}\end{array}$

【例】関数 $y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x-1}}$ を微分せよ。

【解答】 $y=(3x-1)^{-\frac13}$ なので,
$\begin{array}{lll}y'&=&-\dfrac13(3x-1)^{-\frac13-1}\cdot(3x-1)'\\&=&-\dfrac13(3x-1)^{-\frac43}\cdot3\\&=&-\dfrac{1}{(3x-1)\sqrt[3]{3x-1}}\end{array}$