高校数学：数III微分・微分の定義と和差積商の微分法

こんにちは。今回は数IIIの微分の仕方について書いておきます。

微分の定義

導関数の定義
$f'(x)=\displaystyle\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$
詳しくは以下の記事を

2021年3月9日emath：高校数学：微分と接線の傾き

和差積商の微分法

$\maru1\,\,c'=0$ ( $c$ は定数)
$\maru2\,\,\left\{kf(x)\right\}'=kf'(x)$
特に
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}\cdots\maru1$ が成り立つ。( $n$ は実数)

2023年3月24日高校数学：微分：xⁿを微分するとnxⁿ⁻¹になるわけ

また, $\dfrac{k}{x^n}$ は $kx^{-n}$ として $\maru1$ の微分を行うと,
$\left(kx^{-n}\right)'=-knx^{-n-1}$
となり,
$k\sqrt[n]{x^m}$ の微分は $kx^{\frac{m}{n}}$ として $\maru1$ の微分を行うと,
$\left(kx^{\frac{m}{n}}\right)'=\dfrac{km}{n}x^{\frac{m}{n}-1}$ 。
となる。
$\maru3\,\,\left\{f(x)\pm g(x)\right\}'=f'(x)\pm g'(x)$ (複合同順)
$\maru4\,\,\left\{f(x) g(x)\right\}'=f'(x) g(x)+f(x) g'(x)$
特に,
$\left\{f(x) g(x) h(x)\right\}'=f'(x) g(x) h(x)+f(x) g'(x) h(x)+f(x) g(x) h'(x)$

2023年3月19日高校数学：数III微分：積の微分のなぜ・3つの積の微分は？

$\maru5\,\,\left\{\dfrac{g(x)}{f(x)}\right\}'=\dfrac{f(x) g'(x)-f'(x) g(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}$
特に,
$\maru6\,\,\left\{\dfrac{k}{f(x)}\right\}'=-\dfrac{kf'(x)}{\left\{f(x)\right\}^2}$

2023年3月24日高校数学：数III：微分：商の微分の公式のなぜ

問題

次の関数を微分せよ。
$(1)\, y=x^4+2x^3-x^2+5$
$(2)\, y=(x+1)(2x-3)$
$(3)\, y=-\dfrac{2}{x^3}$
$(4)\, y=\dfrac{3x-1}{x^2+2}$
$(5)\, y=(x+1)(x+2)(x+3)$

解答　クリックしてください

$(1)\, y'=4x^3+6x^2-2x$
$(2)$
$\begin{array}{lll}y'&=&(x+1)'(2x-3)+(x+1)(2x-3)'\\&=&(2x-3)+2(x+1)\\&=&4x-1\end{array}$
別に展開してから微分しても問題ない。
$(3)\, y=-2x^{-3}$ となるので,
$y'=-2\cdot(-3)x^{-3-1}$
よって,
$y'=\dfrac{6}{x^4}$
$(4)$
$\begin{array}{lll}y'&=&\dfrac{(3x-1)'(x^2+2)-(3x-1)(x^2+2)'}{(x^2+2)^2}\\&=&\dfrac{3(x^2+2)-2x(3x-1)}{(x^2+2)^2}\\&=&\dfrac{-3x^2+2x+6}{(x^2+2)^2}\end{array}$
$(5)$
$\begin{array}{lll}y'&=&(x+1)'(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)'(x+3)\\&&\hspace{5mm}+(x+1)(x+2)(x+3)'\\&=&(x+2)(x+3)+(x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)\\&=&3x^2+12x+11\end{array}$