高校数学：微分：xⁿを微分するとnxⁿ⁻¹になるわけ

こんにちは。今回は $x^n$ の微分について書いておきます。導関数の定義にしたがって微分していきましょう。

公式

$x^n$ を $x$ について微分すると,
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$
となる。

数IIBの範囲での証明

導関数の定義にしたがって微分すると,
$\left(x^n\right)'=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\cdots\maru1$
これだけ見ると, $(x+h)^n$ ってどうやって計算するんですかってなるけど, ここで使うテクニックが二項定理。
$(x+h)^n$ を二項定理を用いて展開すると,
$(x+h)^n={}_n\mathrm{C}_0 x^n+{}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n h^n\cdots\maru2$
$\maru2$ を $\maru1$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}\left(x^n\right)'&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{{}_n\mathrm{C}_0 x^n+{}_n\mathrm{C}_1 x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n h^n-x^n}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\cancel{x^n}+{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}h+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2}h^2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n h^n-\cancel{x^n}}{h}\\&=&\displaystyle\lim_{h\to0}{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}+{}_n\mathrm{C}_2 x^{n-2}h+\cdots+{}_n\mathrm{C}_n h^{n-1}\\&=&{}_n\mathrm{C}_1x^{n-1}\\&=&nx^{n-1}\end{array}$
となる。
よって,
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$

数IIIの対数微分法を用いた証明

$x>0$ とする。 $y=x^n$ とおいて, 両辺の対数をとると,
$\log y=\log x^n=n\log x$ となる。
つまり,
$\log y=n\log x$ となり, この両辺を $x$ で微分すると,
$\dfrac{y'}{y}=\dfrac{n}{x}$
$y'=\dfrac{n}{x}\cdot y$
$y=x^n$ なので,
$\begin{array}{lll}y'&=&\dfrac{n}{x}\cdot x^n\\&=&nx^{n-1}\end{array}$
よって,
$\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$