高校数学：数III微分・関数f(x,y)=0の微分法

こんにちは。今回は円や楕円といった関数 $f(x, y)=0$ の微分法について書いておきます。

和の形の微分の方法

$f(x)\pm g(y)=k$ で表される関数を $x$ について微分すると,
$f'(x)\pm g'(y)\dfrac{dy}{dx}=0$ となり,
$\pm g'(y)\dfrac{dy}{dx}=-f'(x)$ なので,
$\dfrac{dy}{dx}=\mp\dfrac{f'(x)}{g'(y)}\,\,$ (複合同順)
となる。

微分してみよう

次の式から $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし, $y$ を用いてもよい。

$(1)\,\, y^2=4x$

【解答】
$2y\dfrac{dy}{dx}=4$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{y}\cdots$ (答)

$(2)\,\, x^2+y^2=5$

【解答】
$2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
$2y\dfrac{dy}{dx}=-2x$
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}\cdots$ (答)

$(3)\,\, x^3-\dfrac{y^2}{4}=1$

【解答】
$3x^2-\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$-\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}=-3x^2$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{6x^2}{y}\cdots$ (答)

積の形の微分の方法

$f(x)\cdot g(y)=k$ で表される関数を $x$ について微分すると,
$f'(x)\cdot g(y)+f(x)\cdot g'(y)\dfrac{dy}{dx}=0$ となり,
$\begin{array}{rll}f(x)\cdot g'(y)\dfrac{dy}{dx}&=&-f'(x)\cdot g(y)\\\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)\cdot g'(x)}\end{array}$
よって,
$\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{f'(x)\cdot g(x)}{f(x)\cdot g'(x)}$