高校数学：数III微分・2次曲線の接線の公式の導出

こんにちは。今回は2次曲線の接線の公式を導いていく問題をやっていきます。

微分することで理屈で攻める

【例】円 $x^2+y^2=25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式は, $3x+4y=25$ で表されることを示せ。

【解答例】円の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ となり, 点 $(3, 4)$ は円周上の点なので,
接線の傾きは $-\dfrac{3}{4}$ となる。
したがって, 点 $(3, 4)$ における接線の方程式は,
$y=-\dfrac{3}{4}(x-3)+4$
これを整理すると,
$3x+4y=25$
となる。

【例】放物線 $y^2=8x$ のグラフ上の点 $(2, 4)$ における接線の方程式は, $y=x+2$ で表されることを示せ。

【解答例】放物線の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$2y\dfrac{dy}{dx}=8$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{y}$ となり, 点 $(2, 4)$ はグラフ上の点なので,
接線の傾きは $\dfrac{4}{4}=1$ となる。
したがって, 点 $(2, 4)$ における接線の方程式は,
$y=(x-2)+4$
これを整理すると,
$y=x+2$
となる。

【例】楕円 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 上の点 $(\sqrt6, 1)$ における接線の方程式は, $\dfrac{\sqrt6}{8}x+\dfrac{1}{4}y=1$ で表されることを示せ。

【解答例】楕円の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\begin{array}{rll}\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{x}{4}\\\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{x}{2y}\end{array}$
となり, 点 $(\sqrt6, 1)$ は楕円上の点なので,
接線の傾きは $-\dfrac{\sqrt6}{2}$ となる。
したがって, 点 $(\sqrt6, 1)$ における接線の方程式は,
$y=-\dfrac{\sqrt6}{2}(x-\sqrt6)+1$
これを整理すると,
$\dfrac{\sqrt6}{8}x+\dfrac{1}{4}y=1$
となる。

【例】双曲線 $\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ 上の点 $(2\sqrt3, \sqrt2)$ における接線の方程式は, $\dfrac{\sqrt3}{4}x-\dfrac{\sqrt2}{4}y=1$ で表されることを示せ。

【解答例】双曲線の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$\dfrac{x}{4}-\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\begin{array}{rll}-\dfrac{y}{2}\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{x}{4}\\\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{x}{2y}\end{array}$
となり, 点 $(2\sqrt3, \sqrt2)$ は双曲線上の点なので,
接線の傾きは $\dfrac{\sqrt3}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt6}{2}$ となる。
したがって, 点 $(2\sqrt3, \sqrt2)$ における接線の方程式は,
$y=\dfrac{\sqrt6}{2}(x-2\sqrt3)+\sqrt2$
これを整理すると,
$\dfrac{\sqrt3}{4}x-\dfrac{\sqrt2}{4}y=1$
となる。

公式たちの導出問題

【問1】円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点 $(a, b)$ における接線の方程式は, $ax+by=r^2$ で表されることを示せ。

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【解答例】円の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$ となり, 点 $(a, b)$ は円周上の点なので,
$a^2+b^2=r^2\cdots\maru1$ が成り立つ。
また, 接線の傾きは $-\dfrac{a}{b}$ となる。
したがって, 点 $(a, b)$ における接線の方程式は,
$y=-\dfrac{a}{b}(x-a)+b$
これを整理すると,
$ax+by=a^2+b^2$
となり, $\maru1$ から, 接線の方程式は,
$ax+by=r^2$ となる。

【問2】放物線 $y^2=4px$ 上の点 $(a, b)$ における接線の方程式は, $by=2p(x+a)$ で表されることを示せ。

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【解答例】放物線の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$2y\dfrac{dy}{dx}=4p$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2p}{y}$ となり, 点 $(a, b)$ はグラフ上の点なので,
$b^2=4ap\cdots\maru1$ が成り立つ。
また, 接線の傾きは $\dfrac{2p}{b}$ となる。
したがって, 点 $(a, b)$ における接線の方程式は,
$y=\dfrac{2p}{b}(x-a)+b$
これを計算すると,
$by=2px-2ap+b^2$
$\maru1$ から,
$\begin{array}{lll}by&=&2px-2ap+4ap\\&=&2px+2ap\\&=&2p(x+a)\end{array}$
よって, 接線の方程式は,
$by=2p(x+a)$
となる。

【問3】楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(p, q)$ における接線の方程式は, $\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$ で表されることを示せ。

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【解答例】楕円の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\begin{array}{rll}\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{2x}{a^2}\\\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{b^2x}{a^2y}\end{array}$
となり, 点 $(p, q)$ は楕円上の点なので,
$\dfrac{p^2}{a^2}+\dfrac{q^2}{b^2}=1\cdots\maru1$ が成り立つ。
また, 接線の傾きは $-\dfrac{b^2p}{a^2q}$ となる。
したがって, 点 $(p, q)$ における接線の方程式は,
$y=-\dfrac{b^2p}{a^2q}(x-p)+q$
これを計算すると,
$b^2px+a^2qy=b^2p^2+a^2q^2$ となり, $a^b^2>0$ より,
両辺を $a^2b^2$ で割ると,
$\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=\dfrac{p^2}{a^2}+\dfrac{q^2}{b^2}$
$\maru1$ より, 接線の方程式は,
$\dfrac{px}{a^2}+\dfrac{qy}{b^2}=1$
となる。

【問4】双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(p, q)$ における接線の方程式は, $\dfrac{px}{a^2}-\dfrac{qy}{b^2}=1$ で表されることを示せ。

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【解答例】楕円の方程式の両辺を $x$ について微分すると,
$\dfrac{2x}{a^2}-\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}=0$
$\begin{array}{rll}-\dfrac{2y}{b^2}\dfrac{dy}{dx}&=&-\dfrac{2x}{a^2}\\\dfrac{dy}{dx}&=&\dfrac{b^2x}{a^2y}\end{array}$
となり, 点 $(p, q)$ は楕円上の点なので,
$\dfrac{p^2}{a^2}-\dfrac{q^2}{b^2}=1\cdots\maru1$ が成り立つ。
また, 接線の傾きは $\dfrac{b^2p}{a^2q}$ となる。
したがって, 点 $(p, q)$ における接線の方程式は,
$y=\dfrac{b^2p}{a^2q}(x-p)+q$
これを計算すると,
$b^2px-a^2qy=b^2p^2-a^2q^2$ となり, $a^2b^2>0$ より,
両辺を $a^2b^2$ で割ると,
$\dfrac{px}{a^2}-\dfrac{qy}{b^2}=\dfrac{p^2}{a^2}-\dfrac{q^2}{b^2}$
$\maru1$ より, 接線の方程式は,
$\dfrac{px}{a^2}-\dfrac{qy}{b^2}=1$
となる。