TikiZ:高校数学:ベクトルと点Pの位置関係(分点公式の応用)

こんにちは。今回は分点の公式を使いこなすことで, 点Pの位置を調べてみましょう。それでは例題を見ていきます。

Pの位置を調べる問題の例

【例】△ABCと点Pに対して, 2\overrightarrow{\text{PA}}+3\overrightarrow{\text{PB}}+4\overrightarrow{\text{PC}}=\overrightarrow{0}が成り立つとき, 点Pはどのような位置にあるか調べよ。
【解法】

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図を参考にすべて始点をAにして等式を書き換えることにする。
\overrightarrow{\text{PA}}=-\overrightarrow{\text{AP}}
\overrightarrow{\text{PB}}=\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AP}}
\overrightarrow{\text{PC}}=\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AP}}
であるから, 与式の等式は次のようになる。
-2\overrightarrow{\text{AP}}+3\left(\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{AP}}\right)+4\left(\overrightarrow{\text{AC}}-\overrightarrow{\text{AP}}\right)=\overrightarrow{0}
-9\overrightarrow{\text{AP}}+3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}=\overrightarrow{0}
\overrightarrow{\text{AP}}=\dfrac19\left(3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}\right)
これを分点の公式\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}が使える形に変形すると,
\overrightarrow{\text{AP}}=\dfrac79\left(\dfrac{3\overrightarrow{\text{AB}}+4\overrightarrow{\text{AC}}}{7}\right)
これより, 辺BCを4 : 3に内分する点をQとすると, 点Pは線分AQを7 : 2に内分する点である。下図参照。

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流れをつかんでおこう
\textcircled{\scriptsize 1} 始点を頂点の1つにそろえて等式を書き換える。
\textcircled{\scriptsize 2} 書き換えた等式をPを含むベクトルについて解く。今回なら\overrightarrow{\text{AP}}
\textcircled{\scriptsize 3} 分点の公式\dfrac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}を用いて式変形する。
\textcircled{\scriptsize 4} 変形した式から位置を読み取る。

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