高校数学：数III微分・媒介変数で表された関数の微分法

こんにちは。今回は媒介変数表示の関数の微分について書いてみようと思います。

媒介変数表示の関数の微分法

$x=f(t),\, y=g(t)\,$ ( $t$ は媒介変数)のとき,
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$

例題を見てみよう

次の関数について, $\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ。ただし, $t$ の関数として表してよいものとする。

$(1)\,\, x=1-t,\, y=2t+1$

$\dfrac{dx}{dt}=-1$ , $\dfrac{dy}{dt}=2$
$\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}=\dfrac{2}{-1}=-2$
$\dfrac{dy}{dx}=-2\cdots$ (答)

$(2)\,\, x=\sqrt x, y=t^2-2t+3$

$\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}$ , $\dfrac{dy}{dt}=2t-2$
$\begin{array}{lll}\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}&=&\dfrac{2t-2}{\dfrac{1}{2\sqrt t}}\\&=&4\sqrt t(t-1)\end{array}$
$\dfrac{dy}{dx}=4\sqrt t(t-1)\cdots$ (答)

$(3)\,\, x=\dfrac{1-t}{1+t^2}, \, y=\dfrac{t^2}{1+t^2}$

$\begin{array}{lll}\dfrac{dx}{dt}&=&\dfrac{-(1+t^2)-2t(1-t)}{(1+t^2)^2}\\&=&\dfrac{t^2-2t-1}{(1+t^2)^2}\end{array}$
$\begin{array}{lll}\dfrac{dy}{dt}&=&\dfrac{2t(1+t^2)-2t\cdot t^2}{(1+t^2)^2}\\&=&\dfrac{2t}{(1+t^2)^2}\end{array}$
$\begin{array}{lll}\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}&=&\dfrac{\dfrac{2t}{(1+t^2)^2}}{\dfrac{t^2-2t-1}{(1+t^2)^2}}\\&=&\dfrac{2t}{t^2-2t-1}\end{array}$
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2t}{t^2-2t-1}\cdots$ (答)

$(4)\,\, x=a\cos^3t,\, y=b\sin^3t\, (a>0, b>0)$

$\dfrac{dx}{dt}=3a\cos^2 t\cdot(-\sin t)=-3a\sin t\cos^2t$
$\dfrac{dy}{dt}=3b\sin^2 t\cdot(\cos t)=3b\sin^2 t\cos t$
$\begin{array}{lll}\dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}&=&\dfrac{3b\sin^2 t\cos t}{-3a\sin t\cos^2t}\\&=&-\dfrac{b\sin t}{a\cos t}\\&=&-\dfrac{b}{a}\tan t\end{array}$
$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{b}{a}\tan t\cdots$ (答)