高校数学：部分分数分解の分け方のパターン

こんにちは。高2の数列, 高3の積分などで活躍すると思われる部分分数分解。その分け方のパターンを見ていこうと思います。出てくる形は大体これというものを書いておきます。以下, 2パターンを紹介しておきます。

部分分数分解パターン1

部分分数分解の方法として, 例えば,
$\dfrac{mx+n}{(ax+b)(cx+d)}$ を部分分数に分ける場合,
$\dfrac{mx+n}{(ax+b)(cx+d)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{cx+d}$
とおいて, 右辺を通分し, 分子の係数比較を行うことで, 連立方程式ができ, それを解くことで, 定数 $A, B$ の値が求まり, 部分分数分解を実現できる仕組みになります。この他に, 分母をはらって恒等的な関係を用いる数値代入法で, 定数 $A, B$ の値が求まります。考え方自体は恒等式の攻め方と同じです。
【例】部分分数に分解すると, $\dfrac{2x-1}{(2x-3)(3x-5)}=\dfrac{a}{2x-3}+\dfrac{b}{3x-5}$ となる。定数 $a, b$ の値を求めよ。
【解法1】係数比較
右辺を通分すると,
$\dfrac{a(3x-5)+b(2x-3)}{(2x-3)(3x-5)}=\dfrac{(3a+2b)x+(-5a-3b)}{(2x-3)(3x-5)}$
これが左辺と等しいので,
$3a+b=2$ , $-5a-3b=-1$ となり, これを解くと, $a=-4, b=7$
※通分でなくとも, 両辺に $(2x-3)(3x-5)$ をかけて行ってもよい。
【解法2】数値代入法
与式の両辺に $(2x-3)(3x-5)$ をかけて,
$2x-1=a(3x-5)+b(2x-3)$
$x=0$ とすると, $-5a-3b=-1$
$x=1$ とすると, $-2a-b=1$
これを解くと, $a=-4, b=7$

部分分数分解パターン2

$\dfrac{mx+n}{(x+a)(x+b)^2}$ を部分分数に分ける場合,
$\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{(x+b)^2}$ として, 分子の係数比較を行い, 連立方程式などで, 定数 $A, B, C$ の値を決めるといいでしょう。これも先と同様に, 分母をはらって恒等的な関係を用いる数値代入法で, 定数 $A, B, C$ が求まります。考え方自体は恒等式の攻め方と同じです。
【例】部分分数分解すると, $\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{c}{(x+1)^2}$ となる。定数 $a, b, c$ の値を求めよ。
【解法1】係数比較
右辺を通分すると,
$\dfrac{a(x+1)^2+bx(x+1)+cx}{x(x+1)^2}=\dfrac{(a+b)x^2+(2a+b+c)x+a}{x(x+1)^2}$
これが左辺と等しいので, $x+2=(a+b)x^2+(2a+b+c)x+a$
これより, $a+b=0, 2a+b+c=1, a=2$ となる。これを解いて, $a=2, b=-2, c=-1$ となる。
※通分でなくとも, 両辺に $x(x+1)^2$ をかけて行ってもよい。
【解法2】数値代入法
両辺に $x(x+1)^2$ をかけて,
$a(x+1)^2+bx(x+1)+cx=x+2$
$x=0$ のとき, $a=2\cdots\maru1$
$x=1$ のとき, $4a+2b+c=3\cdots\maru2$
$x=-1$ のとき, $-c=1\cdots\maru3$
$\maru3$ から, $c=-1$ これと $\maru1$ を, $\maru2$ に代入し,
$8+2b-1=3$ から, $b=-2$
以上より, $a=2, b=-2, c=-1$

分子は分母より低次数でもうまくいかない

部分分数のつくり方は
$\dfrac{C(x)}{A(x)B(x)}=\dfrac{D(x)}{A(x)}+\dfrac{E(x)}{B(x)}$
$D(x)$ は $A(x)$ より低次数。 $E(x)$ は $B(x)$ より低次数と設定するのが一般的であると思われそうだが, $D(x)$ や $E(x)$ をそのやり方で設定してもうまくいかない場合がある。つまり, $E(x)$ や $D(x)$ の作り方を知らないと無限ループに落ちいることになる。

このルールにしたがって, 上のパターン2の解法で, 部分分数をつくるとき, 次のように設定するとする。
$\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x+1}+\dfrac{cx+d}{(x+1)^2}$
このとき, 【解法1】の係数比較の解法では, 未知数の文字が4つ $( a, b, c, d )$ あるのに, 方程式が3つしか作れず,手詰まりとなる。しかし, 数値代入法を取り入れることで, 方程式は4つ以上作れるので, 問題なく答えられと考えるが, 無限ループにはまる。実際にやってみると, 次のようだ。
$\begin{array}{lll}\dfrac{x+2}{x(x+1)^2}&=&\dfrac{a(x+1)^2+bx(x+1)+x(cx+d)}{x(x+1)^2}\\&=&\dfrac{(a+b+c)x^2+(2a+b+d)x+a}{x(x+1)^2}\end{array}$
分子の係数比較より, $a+b+c=0\cdots\maru1, 2a+b+d=1\cdots\maru2, a=2\cdots\maru3$ ,
また, 分子だけの等式, $x+2=(a+b+c)x^2+(2a+b+d)x+a$ に, $x=1$ を代入すると,
$4a+2b+c+d=3\cdots\maru4$ となり,
$\maru3$ を $\maru1, \maru2, \maru4$ に代入すると,
$b+c=-2\cdots\maru1'$ , $b+d=-3\cdots\maru2'$ , $2b+c+d=-5\cdots\maru4'$
$\maru4'-\maru1'$ より得られる式は, $b+d=-3$ となり, これは $\maru2'$ と同じである。
この後いくらやっても同じことになる。初めから数値代入法でやっても同じである。

したがって, ある程度部分分数の構成を知っておかないと, ドツボにはまることになる。
例えば, $\dfrac{mx+n}{(ax+b)^2}$ は $\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{B}{(ax+b)^2}$ と分解する。しかし, この分解においても, $\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{Bx+C}{(ax+b)^2}$ としてしまうと, 今示したような無限ループにはまる。そもそも前途したパターン2の解法で, 分子を $cx+d$ としたことや, 今のように分子を $Bx+C$ としてなぜいけないのか。以下に示しました。

そもそもBx+Cとおけない

そもそも間違いなのは, $\dfrac{mx+n}{(ax+b)^2}$ の式の部分数分解で, 分子を $cx+d$ や $Bx+C$ というようにおけないのである。理由は具体例を挙げると,
$\dfrac{3x+5}{(x+2)^2}$ を部分分数分解するとき, 次のように行うからである。
$\begin{array}{lll}\dfrac{3x+5}{(x+2)^2}&=&\dfrac{3(x+2)-1}{(x+2)^2}\\&=&\dfrac{3\cancel{(x+2)}}{(x+2)\cancel{^2}}-\dfrac{1}{(x+2)^2}\\&=&\dfrac{3}{x+2}-\dfrac{1}{(x+2)^2}\end{array}$
このように, 分子は必ず定数になるからである。
文字でやってみると,
$\begin{array}{lll}\dfrac{mx+n}{(ax+b)^2}&=&\dfrac{\frac{m}{a}(ax+b)-\frac{bm}{a}+n}{(ax+b)^2}\\&=&\dfrac{\frac{m}{a}\cancel{(ax+b)}}{(ax+b)\cancel{^2}}+\dfrac{-\frac{bm}{a}+n}{(ax+b)^2}\\&=&\dfrac{\frac{m}{a}}{ax+b}+\dfrac{-\frac{bm}{a}+n}{(ax+b)^2}\end{array}$
やはり, 分子に $x$ を含む項は現れない。
だから, この場合の部分分数分解で, 分子を $cx+d$ などとおくことは失敗の原因になる。特に分母が因数分解できるときは気をつけた方がいい。

一般的に分母の $ax+b$ や $cx+d$ の $x$ の係数 $a, c$ は1であることが多いので, それで以下に部分分数分解のパターンを書いておく。これらの構成は知っておかないと, 先のようにドツボにはまる。

部分分数分解の有名パターン

$\maru1$ 　 $\dfrac{mx+n}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}$
$\maru2$ 　 $\dfrac{mx+n}{(x+a)^2}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{(x+a)^2}$
$\maru3$ 　 $\dfrac{\ell x^2+mx+n}{(x+a)(x+b)^2}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{(x+b)^2}$
$\maru4$ 　 $\dfrac{\ell x^2+mx+n}{(x+a)(x^2+bx+c)}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{Bx+C}{x^2+bx+c}$
$\maru5$ 　 $\dfrac{\ell x^2+mx+n}{(x+a)(x+b)(x+c)}=\dfrac{A}{x+a}+\dfrac{B}{x+b}+\dfrac{C}{x+c}$

分子が1の場合の公式はこちらにまとめました。

2022年1月2日高校数学：分子が1の部分分数分解の求め方

部分分数分解を行うために

部分分数分解

$\maru1$ 　分解した分数式の分子の定数を決める方法として, 係数比較と数値代入法がある。
$\maru2$ 　係数比較が面倒なときは, 数値代入法を使っていくとよい。
$\maru3$ 　分解した分数式を $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ とすると, $g(x)$ は $f(x)$ より低次数で, 一般的には $f(x)$ より次数を1つ下げるが, それでうまくいくとは限らない。きちんと部分分数分解の式の構成を把握しておくことが大事。