高校数学：数III極限・無限等比級数の収束, 発散

こんにちは。今回は無限等比級数の収束と発散について書いておきます。

無限等比級数とは

無限等比級数とは
$\displaystyle\sum^\infty_{n=1} ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots$ を無限等比級数という。
$a$ は初項, $r$ は公比

無限等比級数の収束と発散

無限等比級数
$\displaystyle\sum^\infty_{n=1} ar^{n-1}$ において,
$a=0$ のとき, 収束して和は0
$a\neq0$ のとき,
$-1<r<1$ なら, 収束して和は $\dfrac{a}{1-r}$
$r\geqq1$ , $r\leqq-1$ なら, 発散する。

問題を見てみよう

【例】次の無限等比級数の収束, 発散を調べよ。
(1)　 $54+36+24+16+\cdots$
(2)　 $3-3+3-3+\cdots$
(3)　 $1+5+25+125+\cdots$
(4)　 $\left(\sqrt2+1\right)+1+\left(\sqrt2-1\right)+\left(3-2\sqrt2\right)+\cdots$

【解答例】
(1)　 $36\div54=\dfrac23\cdots$ (公比 $r$ )
したがって, 公比 $r$ が $\dfrac23$ より, $-1<\dfrac23<1$ なので, これは収束する。
つまり, 初項 $54$ , 公比 $\dfrac23$ の無限等比級数である。
よって,
$\begin{array}{lll}54+36+24+16+\cdots&=&\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1}54\cdot\left(\dfrac23\right)^{n-1}\\&=&\dfrac{54}{1-\frac23}\\&=&162\end{array}$
$\mathrm{162}\cdots$ (答)
(2)　 $-3\div3=-1\cdots$ (公比 $r$ )
したがって, 公比 $r$ が $-1$ より, $r\leqq-1$ なので発散する。
発散する。 $\cdots$ (答)
(3)　 $5\div1=5\cdots$ (公比 $r$ )
したがって, 公比 $r$ が $5$ より, $r\geqq1$ なので発散する。
発散する。 $\cdots$ (答)
(4)　 $1\div\left(\sqrt2+1\right)=\dfrac{1}{\sqrt2+1}=\dfrac{\sqrt2-1}{\left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt2-1\right)}=\sqrt2-1\cdots$ (公比 $r$ )
したがって, 公比 $r$ が $\sqrt2-1$ より, $-1<\sqrt2-1<1$ なので, これは収束する。
つまり, 初項 $\sqrt2+1$ , 公比 $\sqrt2-1$ の無限等比級数である。
よって,
$\begin{array}{lll}\left(\sqrt2+1\right)+1+\left(\sqrt2-1\right)+\cdots&=&\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1}\left(\sqrt2+1\right)\left(\sqrt2-1\right)^{n-1}\\&=&\dfrac{\sqrt2+1}{1-\left(\sqrt2-1\right)}\\&=&\dfrac{\sqrt2+1}{2-\sqrt2}\\&=&\dfrac{\left(\sqrt2+1\right)\left(2+\sqrt2\right)}{\left(2-\sqrt2\right)\left(2+\sqrt2\right)}\\&=&\dfrac{4+3\sqrt2}{2}\end{array}$
$\dfrac{4+3\sqrt2}{2}\cdots$ (答)