高校数学：合同式を用いた一次不定方程式の解法

こんにちは。今回は合同式を用いた不定方程式の解法です。整数問題に使うと便利ですかね。それでは例題を見ていきましょう。

例題

【例】 $5x+3y=2\cdots\maru1$ を満たすすべての整数解を求めなさい。

解法

係数の小さい方を法としたとき,
$3y$ は $3$ で割り切れるので, $3$ を法とすると,
$5x+0\equiv2\, (\mathrm{mod\, 3})$
$5$ を $3$ で割ると余りは $2$ なので,
$2x\equiv2\, (\mathrm{mod\, 3})$
$2$ と $3$ は互いに素なので, 両辺 $2$ で割って,
$x\equiv1\, (\mathrm{mod\, 3})$
これより $x$ は $3$ で割ると $1$ 余る整数。
したがって,
$x=3k+1\, (k$ は整数)となる。これを $\maru1$ に代入し,
$5(3k+1)+3y=2$
$y=-5k-1$
以上より,
$x=3k+1\, y=-5k-1\,$ $(k$ は整数)

5を法とした場合

$5x+3y=2\cdots\maru1$
係数の大きい方を法としてやってみようと思う。
$5$ を法とすると,
$0+3y\equiv2\, (\mathrm{mod\, 5})$
$3$ は $5$ で割ると余りは $-2$ と解釈できるので,
$-2y\equiv2\, (\mathrm{mod\, 5})$
$-2$ と $5$ は互いに素なので, 両辺 $-2$ で割って
$y\equiv-1\, (\mathrm{mod\, 5})\cdots\maru{2}$
$-1\equiv4\, (\mathrm{mod\, 5})$ なので,
$y\equiv4\, (\mathrm{mod\, 5})$
$y$ は $5$ で割って余りが $4$ の整数。
ゆえに
$y=5k+4\, (k$ は整数)
これを $\maru1$ に代入すると,
$5x+3(5k+4)=2$
$x=-3k-2$
以上より,
$x=-3k-2,\, y=5k+4\, (k$ は整数)
※ $\maru2$ から, $y=5k-1$ としても問題ない。その場合の $x$ は, $x=-3k+1$ となる。

例題

解法

5を法とした場合

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