高校数学：分数の指数を持つ数の大小関係の調べ方

こんにちは。今回は一見してどちらが大きいかわかりにくい, 分数かつ指数部も分数の数の大小関係を調べてみたいと思います。それでは問題を見ていきましょう。

問題

【問題】 $\left(\dfrac25\right)^{\frac25}$ , $\left(\dfrac13\right)^{\frac13}$ の大小関係を示せ。

解答例

【解答例】
先ず2つの数の指数部を分数でなくするために, 2つの数を15乗(指数部の分母である, 5と3の最小公倍数の15)します。
$\left\{\left(\dfrac25\right)^{\frac25}\right\}^{15}$ , $\left\{\left(\dfrac13\right)^{\frac13}\right\}^{15}$
$\left(\dfrac25\right)^{6}$ , $\left(\dfrac13\right)^{5}$
$\left(\dfrac25\right)^{6}=\dfrac{64}{15625}$ , $\left(\dfrac13\right)^{5}=\dfrac{1}{243}$
ここで2つの数を割り算すると
$\begin{array}{lll}\left(\dfrac25\right)^{6}\div\left(\dfrac13\right)^{5}&=&\dfrac{64}{15625}\div\dfrac{1}{243}\\&=&\dfrac{64\times243}{15625}\\&=&\dfrac{15552}{15625}<1\end{array}$
よって商が1より小さいということなので,
$\left(\dfrac25\right)^{6}<\left(\dfrac13\right)^{5}$
つまり,
$\left(\dfrac25\right)^{\frac25}<\left(\dfrac13\right)^{\frac13}$

解法のコツ

$\maru1$ 指数部が分数の場合は指数部の分母の最小公倍数 $N$ を求め, 2数を $N$ 乗して計算しやすい状態にする。
$\maru2$ $\maru1$ の状態から実際に計算する。
$\maru3$ 大小関係が2数なら割り算して商が1より大きくなるかそうでないかで大小関係を見る。3数以上の場合は $\maru2$ の状態から分母の最小公倍数をすべての数にかけて大小関係を見るとよい。

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問題

解答例

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