TikZ：高校数学：t=2^x+2^-tとおくときにするべきこと

2022年12月31日

こんにちは。今回は指数関数のところで, $t=2^x+2^{-x}$ とおくとき, しておかなくてはならないことを書いておきます。当たり前のことなのですが, 忘れがちだったり, 範囲の求め方があいまいだったりするので書き留めておきます。問題を解きながら流れを見ていきましょう。

問題

【問題】関数 $y=2^{2x}-2^{x+1}-2^{-x+1}+2^{-2x}+5$ の最小値を求めよ。
(1) $t=2^x+2^{-x}$ とおくとき, $t$ の範囲を求めよ。
(2) (1)のとき関数の最小値を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) $2^x>0$ , $2^{-x}>0$ なので, 相加相乗平均を用いて,
$t=2^x+2^{-x}\geqq2\sqrt{2x\cdot2^{-x}}=2$
等号成立は, $2^x=2^{-x}$ ,　つまり, $x=0$ のとき,
よって, $t\geqq 2\cdots$ (答)
(2)
$\begin{array}{lll}y&=&2^{2x}-2^{x+1}-2^{-x+1}+2^{-x}+5\\&=&\left(2^x+2^{-x}\right)^2-2-2\cdot2^x-2\cdot2^{-x}+5\\&=&\left(2^x+2^{-x}\right)^2-2\left(2^x+2^{-x}\right)+3\\&=&t^2-2t+3\\&=&(t-1)^2+2\end{array}$
$t\geqq2$ より,
$t=2$ つまり, $x=0$ のとき, 最小値3をる。 $\cdots$ (答)