emath：中学数学：公式：攻略法：台形と面積比

こんにちは。台形に関する面積比の公式の紹介です。それではどうぞ。

台形に関する面積比①

上底と下底の比が $\maru{a} : \maru{b}$ の台形ABCDにおいて, 対角線BDで区切った△ABDと△DBCの面積比は, $a : b$ となる。これは, 台形の上底と下底は平行であるから, 2つの三角形の高さが等しいことになります。したがって, 底辺の長さの比がそのまま面積比になります。

台形に関する面積比②

台形ABCDで, $\mathrm{AE} : \mathrm{BF} : \mathrm{ED} : \mathrm{FC} = \maru{a} : \maru{b} : \maru{c} : \maru{d}$ のとき, 台形ABFEと台形EFCDの面積比は $(a + b) : (c + d)$ となります。これは2つの台形の高さが等しいので, 面積比が, (上底＋下底)の比になるからです。

台形に関する面積比③

台形ABCDで, $\mathrm{AE} : \mathrm{BC} : \mathrm{ED} = \maru{a} : \maru{b} : \maru{c}$ のとき, △ABEと台形EBCDの面積比は, $a : (b+c)$ になります。これも台形の上底と下底が平行なので, △ABEと台形EBCDの高さが等しいので, 面積比は, (上底＋下底)の比になります。三角形は上底が0の台形と考えると, $(a+0) : (b+c)$ となり, 公式が得られます。

台形に関する公式④

上底と下底の比が $\maru{a} : \maru{b}$ の台形ABCDを, 2つの対角線AC, BDで, 三角形4つに分けます。このとき, 対角線の交点をPとすると, AD $//$ BCから, △ADP∽△CBPが言え, それぞれの三角形の面積の割合は以下の図のようになります。
△ADPと△CBPの $a^2$ , $b^2$ は相似比の2乗からきています。△ABPと△DCPの $ab$ は, $\mathrm{AP} : \mathrm{CP} = a : b$ であるから, △ADP：△ABP $= a : b$ からきています。△DCPも同様です。