emath：中学数学：公式：攻略：座標軸上の線分比・面積比

こんにちは。今回は座標軸上の線分比, 面積比について書いておきます。

線分比

座標軸上の線分ACを点Bで分けるとき,
$\mathrm{AB} : \mathrm{BC} = a : b$ ( $x$ 軸方向で見た場合)または, $c : d$ ( $y$ 軸方向で見た場合)となります。
ちなみに $a : b = c : d$ ですので, どちらの方向から見ても比(比の値)は同じになります。

証明はこちら

三角形の面積比

△ABDの面積を $S_1$ , △ADCの面積を $S_2$ とすると, この2つの三角形は, 底辺をそれぞれBD, DCとすると, 高さが等しいので, 面積比は底辺の比に比例します。ここで,
$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{PQ} : \mathrm{QR} = a : b$ なので,
$S_1 : S_2 = a : b$
となります。

台形(平行四辺形)の面積比①

四角形ABCDは台形(平行四辺形でもよい)で四角形ABEFと四角形FECDはともに高さの等しい台形です。
$\mathrm{AF} : \mathrm{BE} : \mathrm{FD} : \mathrm{EC}=a : b : c : d$ とし, 四角形ABEFと四角形FECDの面積をそれぞれ, $S_1, S_2$ とすると, その面積比は, (上底＋下底)の比(高さが等しいから)になるので,
$S_1 : S_2 = (a+b) : (c+d)$
となります。

なんでかなぁって思う人は下の関連記事をたどってください。

台形(平行四辺形)の面積比②

四角形ABCDは台形(平行四辺形でもよい)で, 線分AEでそれぞれ高さの等しい△ABEと台形AECDに分けます。
$\mathrm{AD} : \mathrm{BE} : \mathrm{EC}=a : b : c$ とし, △ABEと台形AECDの面積をそれぞれ, $S_1, S_2$ とすると, その面積比は,
$S_1 : S_2 = b : (a+c)$
となります。
理由は上の台形の面積比で片方の台形の上底を0とすれば, この公式と同様の式が得られます。