高校数学：2次曲線：楕円の切り取る線分の長さの問題

こんにちは。楕円の切り取る線分の長さに関する問題です。解法のテクニックとしてご覧ください。

問題

直線 $y=2x+k$ ( $k$ は実数)と, 楕円 $4x^2+9y^2=36$ について次の問いに答えよ。
(1) 両者が異なる2点で交わるための条件を求めよ。
(2) 2つの交点を結ぶ線分の長さが4となるとき, $k$ の値を求めよ。
【岩手大】

方針

【方針】
(1)は直線の式を楕円の式に代入して判別式 $D>0$ で完遂。
(2)は交点の座標のおき方に注意して解と係数の関係を用いて解く(頻出解法)

解答例

【解答例】
(1) $y=2x+k$ を $4x^2+9y^2=36$ に代入すると,
$4x^2+9(2x+k)^2=36$
$40x^2+36kx+9k^2-36=0\cdots\maru1$
$\maru1$ が異なる2つの実数解をもてばよいので,
判別式 $D$ とすると, $D/4>0$ だから,
$(18k^2)-40(9k^2-36)>0$
$324k^2-40(9k^2-36)>0$
$9k^2-10(k^2-4)>0$
$k^2<40$
$-2\sqrt{10}<k<2\sqrt{10}\cdots$ (答)
(2) 交点の座標を $\mathrm{A}(\alpha, 2\alpha+k)$ , $\mathrm{B}(\beta, 2\beta+k)$ とおく,
(※楕円の式の方で座標設定するととんでもないことになるので注意)
$\mathrm{AB}=4$ なので,
$\begin{array}{rll}\mathrm{AB^2}&=&16\\(\alpha-\beta)^2+\{(2\alpha+k)-(2\beta+k)\}^2&=&16\\(\alpha-\beta)^2+4(\alpha-\beta)^2&=&16\\5(\alpha-\beta)^2&=&16\cdots\maru2\end{array}$
$\alpha, \beta$ は $\maru1$ の解なので, 解と係数の関係より,
$\alpha+\beta=-\dfrac{9}{10}k$ , $\alpha\beta=\dfrac{9k^2-36}{40}\cdots\maru3$
ここで, $\maru2$ を変形すると,
$5\left\{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\right\}=16$ となり, $\maru3$ らを代入すると,
$5\left\{\left(-\dfrac{9}{10}k\right)^2-4\left(\dfrac{9k^2-36}{40}\right)\right\}=16$
$\dfrac{-9k^2+360}{20}=16$
$9k^2=40$
$k^2=\dfrac{40}{9}$
$k=\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\cdots$ (答)

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問題

方針

解答例

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