高校数学：二項定理：(a+b+c)^nの展開と係数

2023年2月15日

こんにちは。高2内容で二項定理のあとで習うところで, 少しうん？ってなるところかもしれません。その部分を書いておきます。

例題

【例題】 $(x^2+2x-1)^6$ の展開式における $x^4$ の項の係数を求めよ。

解答例

【解答例】
展開したときにできる一般項は0以上の整数, $p, q, r$ を用いて,
$\dfrac{6!}{p!\, q!\, r!}(x^2)^p(2x)^q(-1)^r=\dfrac{6!}{p!\, q!\, r!}2^q\cdot (-1)^r\cdot x^{2p+q}\cdots\maru1$
となる。ただし, $p+q+r=6\cdots\maru2$ である。
ここで, $x^4$ の項は, $\maru1$ で, $2p+q=4$ になるときで,
$p, q, r$ は0以上の整数であることから, $p, q$ の組は $( p, q )=( 0, 4 ), ( 1, 2 ), ( 2, 0 )$ しかなく, これにともなって, $\maru2$ の条件から $r$ を付け加えると, $( p, q, r )=( 0, 4, 2 ), ( 1, 2, 3 ), ( 2, 0, 4 )$ となる。
よって, 求める $x^4$ の係数は,
$\dfrac{6!}{0!4!2!}2^4(-1)^2+\dfrac{6!}{1!2!3!}2^2(-1)^3+\dfrac{6!}{2!0!4!}2^0(-1)^4=240-240+15=15\cdots$ (答)