高校数学：数列：確率と漸化式の演習②

こんにちは。さて, 確率と漸化式の基本問題をやっておきましょう。それではどうぞ。

問題

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8の数字が書かれた8枚のカードの中から1枚を取り出して元に戻すことを $n$ 回行う。この $n$ 回の試行で, 数字8のカードが取り出される回数が奇数回である確率を $P_n$ とする。このとき, 次の問いに答えよ。
(1) $P_1$ を求めよ。
(2) $P_{n+1}$ と $P_n$ の関係式を求めよ。
(3) $P_n$ を $n$ を用いて表せ。

解答例

【解答例】
(1) 8枚から1枚選ぶ確率なので, $\dfrac18\cdots$ (答)
(2) $n$ 回目の状況で, $(n+1)$ 回目の確率が変わってくる。それは, $n$ 回目に8のカードが奇数回出ている(確率 $P_n$ )のであれば, (n+1)回目に8のカードを引くと偶数回引くことになるので, $(n+1)$ 回目は8以外のカードを引かなくてはならない。反対に $n$ 回目のとき8のカードが偶数回出ている(確率 $(1-P_n)$ )のであれば, $(n+1)$ 回目に8のカードを引く必要がある。これを樹形図のような形で表すと, 次のようになる。

よって, 関係式は次のようになる。
$P_{n+1}=\dfrac78P_n+\dfrac18(1-P_n)$
$P_{n+1}=\dfrac34P_n+\dfrac18\cdots$ (答)
(3) (2)で求めた式は, $P_{n+1}+\alpha=\dfrac34(P_n+\alpha)$ と変形できるので, 展開して係数比較を行と,
$-\dfrac14\alpha=\dfrac18$
$\alpha=-\dfrac12$ となり,
$P_{n+1}-\dfrac12=\dfrac34\left(P_n-\dfrac12\right)$ と変形できる。
これは, 数列 $\left(P_n-\dfrac12\right)$ が初項 $P_1-\dfrac12=\dfrac18-\dfrac12=-\dfrac38$ , 公比 $\dfrac34$ の等比数列であることを表しているので,
$P_n-\dfrac12=-\dfrac38\left(\dfrac34\right)^{n-1}$
よって求める確率 $P_n$ は,
$P_n=\dfrac12-\dfrac38\left(\dfrac34\right)^{n-1}\cdots$ (答)

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問題

解答例

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