高校数学：空間図形：四面体の体積の問題

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問題

四面体 $\mathrm{A-BCD}$ において, $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=3$ , $\kaku{BAC}=90^{\circ}$ , $\mathrm{AD}=2$ , $\mathrm{BD}=\mathrm{CD}=\sqrt7$ であり, 辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とする。このとき, 次の問いに答よ。
(1) 辺 $\mathrm{BC}$ の長さを求めよ。
(2) 辺 $\mathrm{DM}$ の長さを求めよ。
(3) $\kaku{DAM}$ の大きさを求めよ。
(4) 四面体 $\mathrm{A-BCD}$ の体積を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) $\bigtriangleup\mathrm{ABC}$ は直角二等辺三角形なので,
$\mathrm{BC}=3\sqrt2\cdots$ (答)
(2) $\bigtriangleup\mathrm{DBC}$ は $\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$ の二等辺三角形だから, $\mathrm{DM}\perp\mathrm{BC}$ , $\mathrm{BM}=\dfrac12\mathrm{BC}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$ ,
よって,
$\begin{array}{lll}\mathrm{DM}&=&\sqrt{\mathrm{BD}^2-\mathrm{BM}^2}\\&=&\sqrt{\left(\sqrt7\right)^2-\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2}\\&=&\dfrac{\sqrt{10}}{2}\end{array}$
$\mathrm{DM}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\cdots$ (答)
(3) $\bigtriangleup\mathrm{ABM}$ は $\mathrm{AM}=\mathrm{BM}$ の直角二等辺三角形だから, $\mathrm{AM}=\mathrm{BM}=\dfrac{3\sqrt2}{2}$ , $\bigtriangleup\mathrm{AMD}$ で余弦定理より,
$\begin{array}{lll}\cos{\angle{\mathrm{DAM}}}&=&\dfrac{\mathrm{AD}^2+\mathrm{AM}^2-\mathrm{DM}^2}{2\cdot\mathrm{AD}\cdot\mathrm{AM}}\\&=&\dfrac{2^2+\left(\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\right)^2}{2\cdot2\cdot\dfrac{3\sqrt2}{2}}\\&=&\dfrac{1}{\sqrt2}\end{array}$
よって, $\kaku{DAM}=45^{\circ}\cdots$ (答)
(4)
$\begin{array}{lll}\bigtriangleup\mathrm{ABC}&=&\dfrac12\cdot\mathrm{AB}\cdot\mathrm{AC}\\&=&\dfrac12\cdot3\cdot3\\&=&\dfrac92\end{array}$
底面を $\bigtriangleup\mathrm{ABC}$ としたとき, 高さは $\mathrm{AD}\sin{\kaku{DAM}}$ なので,
$\mathrm{AD}\sin{\kaku{DAM}}=2\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}=\sqrt2$
よって, 求める体積は,
$\dfrac13\cdot\dfrac92\cdot\sqrt2=\dfrac{3\sqrt2}{2}\cdots$ (答)

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問題

解答例

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