TikZ：高校数学：数III：減衰曲線の特徴y=e^(-x)sinxのまとめ

こんにちは。数III頻出の減衰曲線についてまとめてみました。ここでは, $y=e^{-x}\sin x$ についてですが, $y=e^{-x}\cos x$ , $y=e^x\sin x$ , $y=e^x\cos x$ についても同様ですので, 以下を参考にしてみてください。グラフは実際の関数 $y=e^{-x}\sin x$ をそのまま書いたのでは分かりにくくなるため, 変数を調整して書いています。実際のテストではここに書いてあるグラフのように, 特徴を強調して書いても大丈夫です。最後に面積についての問題を載せています。どうぞ楽しんでください。

y=e^(-x)sinxのグラフ

$f(x)=e^{-x}\sin x$ として, $0\leqq x\leqq 6\pi$ の範囲でグラフを描いてみる。
第2次導関数まで求めてみると,
$f'(x)=e^{-x}\cos x-e^{-x}\sin x=e^{-x}\left(\cos x-\sin x\right)$
ここで, $e^{-x}>0$ より,
$f'(x)=0$ となる $x$ の値を考えると, $e^{-x}>0$ より, $\sin x=\cos x$ となる $x$ の値は,
$x=\dfrac{\pi}{4}+(n-1)\pi\ (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)$ である。(もちろん三角関数の合成から求めてもよい)
$f''(x)=e^{-x}\left(-\sin x-\cos x\right)-e^{-x}\left(\cos x-\sin x\right)=-2e^{-x}\cos x$
$f''(x)=0$ となる $x$ の値を考えると, $e^{-x}>0$ より, $\cos x=0$ となる $x$ の値は,
$x=\dfrac{\pi}{2}+(n-1)\pi\ (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)$ である。
これらをもとにグラフの概形を書くと, 以下のようになる。

極値に関して
$x=\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{9}{4}\pi, \dfrac{17}{4}\pi$ で極大値をとる。
$\bullet\,$ 極大値をとる $x$ の値は, 初項 $\dfrac{\pi}{4}$ , 公差 $2\pi$ の等差数列になっている。
極大値は左から順に,
$\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi}{4}}, \dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{9}{4}\pi}, \dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{17}{4}\pi}$ となる。
$\bullet\,$ これは, 初項 $\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{\pi}{4}}$ , 公比 $e^{-2\pi}$ の等比数列になっている。
$x=\dfrac{5}{4}\pi, \dfrac{13}{4}\pi, \dfrac{21}{4}\pi$ で極小値をとる。
$\bullet\,$ 極小値をとる $x$ の値は, 初項 $\dfrac{5}{4}\pi$ , 公差 $2\pi$ の等差数列になっている。
極小値は左から順に,
$-\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{5}{4}\pi}, -\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{13}{4}\pi}, -\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{21}{4}\pi}$ となる。
$\bullet\,$ これは, 初項 $-\dfrac{1}{\sqrt2}e^{-\frac{5}{4}\pi}$ , 公比 $e^{-2\pi}$ の等比数列になっている。
変曲点の $x$ 座標
$x=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi, \dfrac52\pi, \dfrac72\pi, \dfrac92\pi, \dfrac{11}{2}\pi$
$\bullet\,$ 前途したように, $x=\dfrac{\pi}{2}+(n-1)\pi\ (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)$ である。
座標は左から順に
$\left(\dfrac{\pi}{2}, e^{-\frac{\pi}{2}}\right), \left(\dfrac32\pi, -e^{-\frac32\pi}\right), \left(\dfrac52\pi, e^{\frac52\pi}\right), \left(\dfrac72\pi, -e^{-\frac72\pi}\right), \left(\dfrac92\pi, e^{-\frac92\pi}\right), \left(\dfrac{11}{2}\pi, -e^{-\frac{11}{2}\pi}\right)$
$\bullet\,$ 変曲点の座標を一般化すると, $\left(\dfrac{\pi}{2}+(n-1)\pi, (-1)^{n-1}\cdot e^{\frac{\pi}{2}+(n-1)\pi}\right)\ (n=1, 2, 3,\cdots)$ となる。
減衰のしかたは, 曲線 $y=e^{-x}$ , $y=-e^{-x}$ (上図青色の曲線)に沿う形で減衰していきます。
以上の特徴は暗記しておくと, のちのち便利です。

減衰曲線の面積

曲線 $y=e^{-x}\sin x$ と $x$ 軸との交点を原点Oから正の方向に順に $\text{P}_0=\text{O}$ , $\text{P}_1$ , $\text{P}_2$ , $\cdots$ とする。
(1) この曲線と線分 $\text{P}_n\text{P}_{n+1}$ とで囲まれた部分の面積 $S_n$ を求めよ。
(2) $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}S_n$ を求めよ。
【東京女子大】

求める面積は $n\pi$ と $(n+1)\pi$ で囲まれた面積です。
したがって, $S_n$ は次のようになります。
$\begin{array}{lll}S_n&=&\left|\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x}\sin x\, dx\right|\\&=&\displaystyle\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} e^{-x}\left|\sin x\right|\, dx\end{array}$
$x-n\pi=t$ とすると,
$\begin{array}{c|ccc} x &n\pi&\to&(n+1)\pi\\ \hline t &0&\to&\pi\end{array}$
また, $x=n\pi+t$ より, $dx=dt$
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-n\pi-t}\left|\sin(n\pi+t)\right|\,dt\\&=&e^{-n\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\left|(-1)^n\sin t\right|\,dt\\&=&e^{-n\pi}\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\,dt\end{array}$
$\sin x$ の絶対値が取れるのは, 積分区間が $0\leqq t\leqq\pi$ において, $\sin t\geqq0$ だから。
これは $S_n$ が公比 $e^{-\pi}$ の等比数列を表すことを意味する。
ここで, $S_n$ の初項 $S_0$ を求めると,
$S_0&=&\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\,dt$ であるから,
$\begin{array}{lll}S_0&=&\displaystyle\int\left(-e^{-t}\right)'\sin t\, dt\\&=&\left[-e^{-t}\sin t\right]_0^{\pi}+\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-t}\cos t\, dt\\&=&\displaystyle\int_0^{\pi} e^{-t}\cos t\, dt\\&=&\left[-e^{-t}\cos t\right]_0^{\pi}-\displaystyle\int_0^{\pi}e^{-t}\sin t\, dt\\&=&e^{-\pi}+1-S_0\end{array}$
これより, $S_0=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}$
$S_n=S_0e^{-n\pi}$ であるから,
$S_n=\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}e^{-n\pi}\cdots$ (答)
(2)
$0<e^{-\pi}<1$ より, $S_n$ は収束する。
よって,
$\begin{array}{lll}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}S_n&=&\dfrac{e^{-\pi}+1}{2}\cdot\dfrac{1}{1-e^{-\pi}}\\&=&\dfrac{1+e^{\pi}}{2(e^{\pi}-1)}\end{array}$
$\dfrac{1+e^{\pi}}{2(e^{\pi}-1)}\cdots$ (答)
このように面積は等比数列になり, その無限級数和は収束します。

y=e^(-x)sinxのグラフ

減衰曲線の面積

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