TikZ：少しでも頭に入れておきたいグラフたち(e^x編)

こんにちは。今回は数IIIで覚えておきたいグラフたちの指数関数編をやっていきます。グラフの概形関連づけて覚えておくと何かと便利です。それではどうぞ。

y=xe^x

$y=xe^x$ のグラフ
$f(x)=xe^x$ とすると,
$f'(x)=xe^x+e^x=(x+1)e^x$
$f''(x)=(x+1)e^x+e^x=(x+2)e^x$
$f'(x)=0$ となるのは, $x=-1$
$f''(x)=0$ となるのは, $x=-2$

極値に関して
$x=-1$ で極小値 $-\dfrac1e$ をとる。
極大値なし
変曲点 $\left(-2,-\dfrac{2}{e^2}\right)$
漸近線
$y=0$ ( $x$ 軸), $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}xe^x=0$
$x=-t$ とおくと, $x\to-\infty$ , $t\to\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x=\displaystyle\lim_{t\to\infty}-te^{-t}=\displaystyle\lim_{t\to\infty}-\dfrac{t}{e^t}=0$
また, $x\to\infty$ なら, $f(x)\to\infty$

y=x^2e^x

$y=x^2e^x$ のグラフ
$f(x)=x^2e^x$ とすると,
$f'(x)=x^2e^x+2xe^x=(x^2+2x)e^x$
$f''(x)=(x^2+2x)e^x+(2x+2)e^x=(x^2+4x+2)e^x$
$f'(x)=0$ となるのは, $x^2+2x=x(x+2)=0$ より, $x=0, -2$
$f''(x)=0$ となるのは, $x^2+4x+2=0$ より, $x=-2\pm\sqrt2$

極値に関して
$x=0$ で極小値 $0$ をとる。
$x=-2$ で極大値 $\dfrac{4}{e^2}$ をとる。
変曲点
$\left(-2-\sqrt2, (6+4\sqrt2)e^{-2-\sqrt2}\right)$ , $\left(-2+\sqrt2, (6-4\sqrt2)e^{-2+\sqrt2}\right)$
漸近線
$y=0$ ( $x$ 軸), $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^2e^x=0$
また, $x\to\infty$ なら, $f(x)\to\infty$

y=x/e^x

$y=\dfrac{x}{e^x}$ のグラフ
$f(x)=xe^{-x}$ とおくと,
$f'(x)=-xe^{-x}+e^{-x}=(1-x)e^{-x}$
$f''(x)=-(1-x)e^{-x}-e^{-x}=(x-2)e^{-x}$
$f'(x)=0$ となるのは, $x=1$
$f''(x)=0$ となるのは, $x=2$

極値に関して
$x=1$ で極大値 $\dfrac1e$ をとる。
極小値なし
変曲点 $\left(2,\dfrac{2}{e^2}\right)$
漸近線
$y=0$ ( $x$ 軸), $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}=0$
また, $x\to-\infty$ なら, $f(x)\to-\infty$

y=xe^x

y=x^2e^x

y=x/e^x

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