TikZ:カテナリー曲線とその類似関数のグラフ

こんにちは。今回はカテナリー曲線とその類似関数のグラフの特徴を示しておきます。頻出系の関数ですので, グラフの概形など覚えておきましょう。

カテナリー曲線

y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} カテナリー
f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}とおくと,
f'(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
f''(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0
f'(x)=0となるのは, x=0のとき, このときこの曲線は極小値をとり, その値は0
極大値はない。
変曲点はf''(x)>0より, 存在しない。
グラフの漸近線(曲線)はx\geqq0のとき, y=\dfrac{e^x}{2}, x<0のとき, y=\dfrac{e^{-x}}{2}となる。
これは, x\geqq0で, x\to+\inftyのとき, \dfrac{e^{-x}}{2}\to0となるので, f(x)y=\dfrac{e^x}{2}に近づき,
x<0で, x\to-\inftyのとき, \dfrac{e^x}{2}\to0となるので, f(x)y=\dfrac{e^{-x}}{2}に近づくことからわかる。

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ちなみに, f(x)=f(-x)が成り立つので, カテナリーは偶関数である。

和の部分を差に変えた関数

y=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
f(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}とおくと,
f'(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}>0
f''(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}
f'(x)>0より, f(x)は単調増加の関数である。よって, 極値は存在しない。
f''(x)=0とすると, x=0なので, 変曲点は(0, 0)になる。
グラフの漸近線(曲線)はx\geqq0のとき, y=\dfrac{e^x}{2}, x<0のとき, y=-\dfrac{e^{-x}}{2}となる。
これは, x\geqq0で, x\to+\inftyのとき, \dfrac{e^{-x}}{2}\to0となるので, f(x)y=\dfrac{e^x}{2}に近づき,
x<0で, x\to-\inftyのとき, \dfrac{e^x}{2}\to0となるので, f(x)y=-\dfrac{e^{-x}}{2}に近づくことからわかる。

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ちなみに, f(x)=-f(-x)が成り立つので, この関数は奇関数である。

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