高校数学：数列：定期テスト対策・数学的帰納法

2021年12月30日2023年3月26日

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こんにちは。今回は数学的帰納法です。それではいってみましょう。

数学的帰納法

【問題】 $n$ を自然数とするとき, $4^{n+1}+5^{2n-1}$ は21の倍数であることを, 数学的帰納法によって証明せよ。

【解答】
$n=1$ のとき,
$4^2+5^1=16+5=21$ で成り立つ。
$n=k$ で,
$4^{k+1}+5^{2k-1}=21m$ ( $m$ は自然数) $\cdots\maru1$ が成り立つとすると,
$n=k+1$ において,
$4^{(k+1)+1}+5^{2(k+1)-1}=4\cdot4^{k+1}+25\cdot5^{2k-1}\cdots\maru2$
$\maru1$ より,
$5^{2k-1}=21m-4^{k+1}$ なので, これを $\maru2$ に代入すると,
$\begin{array}{lll}&&4\cdot4^{k+1}+25(21m-4^{k+1})\\&=&4\cdot4^{k+1}+25\cdot21m-25\cdot4^{k+1}\\&=&25\cdot21m-21\cdot4^{k+1}\\&=&21(25m-4^{k+1})\end{array}$
となり, これは21の倍数である。したがって, $n=k+1$ においても成り立つ事が言える。
よって, すべての自然数 $n$ について成り立つ事が言える。

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