emath：高校数学：1辺が1の正八角形の求積問題(定期テスト対策)

2023年2月26日

こんにちは。正八角形の面積の求積です。

問題

1辺の長さが1の正八角形の面積を求めなさい。

解答例

図のように, 正八角形を合同な8つの三角形(頂角45 $\Deg$ の二等辺三角形)に分けて考える。
二等辺三角形OABの2つの等しい辺 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=a$ とおくと, 余弦定理より,
$1^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cos45\Deg$
$1=2a^2-\sqrt2 a^2$
$(2-\sqrt2)a^2=1$
$a^2=\dfrac{1}{2-\sqrt2}=\dfrac{2+\sqrt2}{2}$
よって, 求める面積は,
$\dfrac12a^2\sin45\Deg\times8=\dfrac12\cdot\dfrac{2+\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{1}{\sqrt2}\times8=2+2\sqrt2\cdots$ (答)