TikZ:高校数学:積分:定期テスト対策・絶対値を含む関数の面積

こんにちは。今回は絶対値を含む関数の積分です。それではいきましょう。

絶対値を含む関数の面積

【問題】\displaystyle\int^3_0\left|x^2-4\right|\,dxの値を求めよ。

【解答】
\left|x^2-4\right|=\left|(x+2)(x-2)\right|
x\leqq-2, x\geqq2のとき,
\left|x^2-4\right|=x^2-4
-2\leqq x\leqq 2のとき,
\left|x^2-4\right|=-x^2+4
となり, それぞれグラフを描くと下の図のようになり, 求めるのは色のついた部分。

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したがって,
\begin{array}{lll}&&\displaystyle\int^3_0\left|x^2-4\right|\,dx\\&=&\displaystyle\int^2_0(-x^2+4)\,dx+\displaystyle\int^3_2(x^2-4)\,dx\\&=&\left[-\dfrac{x^3}{3}+4x\right]^2_0+\left[\dfrac{x^3}{3}-4x\right]^3_2\\ &=&\left(-\dfrac83+8\right)+\left\{\left(9-12\right)-\left(\dfrac83-8\right)\right\}\\&=&\dfrac{23}{3}\end{array}

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