高校数学：数列：定期テスト対策・部分分数和

2021年12月30日2022年4月25日

こんにちは。今回は部分分数の和についてやってみようと思います。

部分分数の和の問題

【問題】次の和を求めよ。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}$

【解答】
$\dfrac{1}{(3k-2)(3k+1)}=\dfrac13\left(\dfrac{1}{3k-2}-\dfrac{1}{3k+1}\right)$ と変形できる。
このとき, 求める値を $S$ とすると,
$\begin{array}{lll}S&=&\dfrac13\left(1-\dfrac14\right)+\dfrac13\left(\dfrac14-\dfrac17\right)+\dfrac13\left(\dfrac17-\dfrac{1}{10}\right)\cdots+\dfrac13\left(\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}\right)\\&=&\dfrac13\left\{\left(1-\cancel{\dfrac14}\right)+\left(\cancel{\dfrac14}-\cancel{\dfrac17}\right)+\left(\cancel{\dfrac17}-\cancel{\dfrac{1}{10}}\right)\cdots+\left(\cancel{ \dfrac{1}{3n-2}}-\dfrac{1}{3n+1} \right)\right\}\\&=&\dfrac13\left(1-\dfrac{1}{3n+1}\right)\\&=&\dfrac{n}{3n+1}\end{array}$

ここがポイント

問題の分数を部分分数にして, 何が打ち消し合うのか見極める。

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