高校数学：数列：定期テスト対策・やや複雑な数列の和②

2021年12月30日2022年4月25日

こんにちは。今回はやや複雑な数列の和をやってみたいと思います。

少し難しい数列の和の問題

【問題】次の数列の和を求めよ。
$\dfrac12,\ \dfrac12-\dfrac14,\ \dfrac12-\dfrac14+\dfrac18,\ \dfrac12-\dfrac14+\dfrac18-\dfrac{1}{16}, \cdots$

【解答】
一般項を $a_k$ とすると,
$a_k=\dfrac12+\dfrac12\left(-\dfrac12\right)+\dfrac12\left(-\dfrac12\right)^2+\dfrac12\left(-\dfrac12\right)^3+\cdots+\dfrac12\left(-\dfrac12\right)^{k-1}$
なので,
$\begin{array}{lll}a_k&=&\dfrac{\dfrac12\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^k\right\}}{1-\left(-\dfrac12\right)}\\&=&\dfrac13\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^k\right\}\end{array}$
したがって,
$\begin{array}{lll}S_n&=&\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\\&=& \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac13\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^k\right\} \\&=&\dfrac13\left\{ \displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1- \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(-\dfrac12\right)^k\right\}\\&=&\dfrac13\left[n-\dfrac{-\dfrac12\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^n\right\}}{1-\left(-\dfrac12\right)}\right]\\&=&\dfrac13n+\dfrac19\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^n\right\}\end{array}$
よって,
$S_n= \dfrac13n+\dfrac19\left\{1-\left(-\dfrac12\right)^n\right\} \cdots$ (答)

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