TikZ：高校数学：数IIIグラフ：サイクロイド曲線とその性質

こんにちは。数IIIでよく登場するサイクロイド曲線について書いておきます。

サイクロイド曲線とは

サイクロイドとは, $a>0$ , $0\leqq\theta\leqq2\pi$ とし, 媒介変数表示
$\begin{cases}x=a\left(\theta-\sin\theta\right)\\y=a\left(1-\cos\theta\right)\end{cases}$
で表される曲線のことをいう。
図形的な意味は, 直線に沿って, 半径 $a$ の円がちょうど1回転するときの円周上の1点(定点：図中青色)の軌跡を表している。したがって, 線分 $\mathrm{OP}$ の長さは, 半径 $a$ の円周の長さ $2\pi a$ と一致する。

グラフを描いてみる

$x$ を $\theta$ で微分すると,
$\dfrac{dx}{d\theta}=a\left(1-\cos\theta\right)$ となる。
$0<\theta<2\pi$ の範囲では, $1-\cos\theta>0$ なので, $\dfrac{dx}{d\theta}>0$ である。
したがって, $\theta$ が増加すれば, $x$ の値も増加する。
$y$ を $\theta$ で微分すると,
$\dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$ となる。
$0<\theta<2\pi$ において, $\sin\theta$ は, $0<\theta<\pi$ で $\sin\theta>0$ であるから, $\dfrac{dy}{d\theta}>0$ で, $\pi<\theta<2\pi$ で $\sin\theta<0$ であるから, $\dfrac{dy}{d\theta}<0$ である。
したがって, $y$ の値は, $0<\theta<\pi$ で増加し, $\pi<\theta<2\pi$ で減少する。
これをもとにグラフを描くと以下のようになる。

サイクロイドの弧の長さ

さてサイクロイドの弧の長さを求めていきましょう。
求める長さを $L$ とすると,
$\dfrac{dx}{d\theta}=a(1-\cos\theta)$ , $\dfrac{dy}{d\theta}=a\sin\theta$ であるから,
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{\left(\dfrac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{d\theta}\right)^2}\,d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2(1-\cos\theta)}\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}$
半角の公式より,
$1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$ であるから, $\maru1$ は次のようになる。
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\sqrt{2\cdot2\sin^2\dfrac{\theta}{2}}\, d\theta\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\left|\sin\dfrac{\theta}{2}\right|\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}$
$0\leqq\theta\leqq2\pi$ より, $0\leqq\dfrac{\theta}{2}\leqq\pi$ なので, $\sin\dfrac{\theta}{2}>0$ である。
よって, $\maru2$ の絶対値はそのまま外せる。したがって, $\maru2$ を計算すると,
$\begin{array}{lll}L&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}2a\sin\dfrac{\theta}{2}\, d\theta\\&=&2a\left[-2\cos\dfrac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\&=&2a\left\{2-(-2)\right\}\\&=&8a\end{array}$
よって曲線の長さは $8a$ となります。

サイクロイドの面積

サイクロイド曲線と $x$ 軸で囲まれた面積を求めてみましょう。
求める面積を $S$ とすると,
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_0^{2\pi a}y\, dx\\&=&\displaystyle\int_0^{2\pi a}y\, \dfrac{dx}{d\theta}\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}$
として求めていきます。
$\dfrac{dx}{d\theta}=a\left(1-\cos\theta\right)$ で,
$x$ が $0\to2\pi a$ となるとき, $\theta$ は $0\to2\pi$ となるので, $\maru1$ は次のように計算できる。
$\begin{array}{lll}S&=&\displaystyle\int_0^{2\pi}a\left(1-\cos\theta\right)\cdota\left(1-\cos\theta\right)\,d\theta\\&=&a^2\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos\theta+\cos^2\theta\right)\, d\theta\\&=&a^2\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(1-2\cos\theta+\dfrac{1+\cos2\theta}{2}\right)\,d\theta\\&=&a^2\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\dfrac32-2\cos\theta+\dfrac{\cos2\theta}{2}\right)\,d\theta\\&=&a^2\left[\dfrac32\theta-2\sin\theta+\dfrac{\sin2\theta}{4}\right]_0^{2\pi}\\&=&a^2\left\{\left(3\pi-0+0\right)-\left(0-0+0\right)\right\}\\&=&3\pi a^2\end{array}$
よって, 面積は $3\pi a^2$ になる。
※計算途中, 倍角の公式より,
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$
としている。

回転体の体積

上で求めた面積を $x$ 軸を回転の軸として1回転させたときにでいる立体の体積を求めてみる。
求める体積を $V$ とすると,
$\begin{array}{lll}V&=&\pi\displaystyle\int_0^{2\pi a}y^2\, dx\\&=&\pi\displaystyle\int_0^{2\pi a}y^2\, \dfrac{dx}{d\theta}\, d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 1}\end{array}$
として求めていきます。
$\dfrac{dx}{d\theta}=a\left(1-\cos\theta\right)$ で,
$x$ が $0\to2\pi a$ となるとき, $\theta$ は $0\to2\pi$ となるので, $\maru1$ は次のように計算できる。
$\begin{array}{lll}V&=&\pi\displaystyle\int_0^{2\pi}a^2\left(1-\cos\theta\right)^2\cdot a\left(1-\cos\theta\right)\,d\theta\\&=&\pi a^3\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(1-\cos\theta\right)^3\, d\theta\\&=&\pi a^3\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(1-3\cos\theta+3\cos^2\theta-\cos^3\theta)\,d\theta\cdots\textcircled{\scriptsize 2}\end{array}$
ここで, 倍角の公式と3倍角の公式より,
$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$
$\cos^3\theta=\dfrac{\cos3\theta+3\cos\theta}{4}$
を用いて, $\maru2$ を書き換えると,
$\begin{array}{lll}V&=&\pi a^3\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\dfrac52-\dfrac{15}{2}+\dfrac32\cos2\theta-\dfrac14\cos3\theta\right)\,d\theta\\&=&\pi a^3\left[\dfrac52\theta-\dfrac{15}{4}\sin\theta+\dfrac34\sin2\theta-\dfrac{1}{12}\sin3\theta\right]_0^{2\pi}\\&=&\pi a^3\left\{\left(5\pi-0+0-0\right)-\left(0-0+0-0\right)\right\}\\&=&5\pi^2 a^3\end{array}$
よって, 体積は $5\pi^2 a^3$ になる。

弧の長さ・面積・体積

サイクロイド曲線 $a>0$ , $0\leqq\theta\leqq2\pi$
$\begin{cases}x=a\left(\theta-\sin\theta\right)\\y=a\left(1-\cos\theta\right)\end{cases}$
について。
$\maru1\,$ サイクロイドの曲線の長さは, $8a$
$\maru2\,$ 曲線と $x$ 軸で囲まれた面積は, $3\pi a^2$
$\maru3\,$ $\maru2$ の図形を $x$ 軸について1回転させてできる体積は, $5\pi^2 a^3$