高校数学：常用対数：桁数と最高位の数を求める

こんにちは。さて, 頻出系の問題です。やっておきましょう。

問題

【問題】 $2^{2023}$ は何桁の数か求めよ。また, 最高位の数がいくつか求めよ。ただし, $\log_{10}2=0.3010, \log_{10}3=0.4771$ とする。

桁数

$2^{2023}$ を $N$ 桁の自然数とすると,
$10^{N-1}\leqq 2^{2023}<10^{N}$
辺々の常用対数をとると,
$\log10^{N-1}\leqq \log 2^{2023}<\log 10^{N}$
$N-1\leqq 2023\log2<N$
$N-1\leqq 2023\times0.3010<N$
$N-1\leqq 608.923<N$
$608<608.923<609$ であるから,
$N=609$
よって609桁 $\cdots$ (答)

最高位の数

(1)より, $\log_{10}2^{2023}=608.923$ であるから,
$2^{2023}=10^{608.923}$ が成り立つ。
$10^{608.923}=10^{608}\times10^{0.923}$
と表せ, $10^{608}$ は最高位の数が1でそれ以外は0が並ぶ数であるから, 最高位の数を決定するのは, $10^{0.923}$ である。
ここで,
$\log_{10}8=\log2^3=3\log2=3\times0.3010=0.9030\to10^{0.9030}=8$
$\log_{10}9=\log3^2=2\log3=2\times0.4771=0.9542\to10^{0.9542}=9$
であるから,
$10^{0.9030}<10^{0.923}<10^{0.9542}$
となり, 書き換えると
$8<10^{0.923}<9$
となる。
よって, $10^{0.923}$ は $8.\cdots$ という数なので, 最高位の数は8となる。
最高位の数 $8\cdots$ (答)

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問題

桁数

最高位の数

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