高校数学：方程式：定期テスト対策(3次方程式の解と係数の関係)

2023年6月1日

こんにちは。定期テスト対策の問題です。それではどうぞ。

問題

【問題】3次方程式 $x^3-3x^2+2x+4=0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき, 次の値を求めよ。
(1) $\alpha+\beta+\gamma$
(2) $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$
(3) $\alpha\beta\gamma$
(4) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}$
(5) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$

解答例

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ とするとき,
$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$
$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$
という関係が成り立つ。

(1) $\alpha+\beta+\gamma=\dfrac{-(-3)}{1}=3$
(2) $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{2}{1}=2$
(3) $\alpha\beta\gamma=-\dfrac{4}{1}=-4$
(4) $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}+\dfrac{1}{\gamma}=\dfrac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}=\dfrac{2}{-4}=-\dfrac{1}{2}$
(5) $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=3^2-2\cdot2=5$

問題

解答例

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