高校数学：点と直線：定期テスト対策(直線束)

2023年6月1日

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こんにちは。今回は定期テスト対策です。それではどうぞ。

問題

【問題】直線 $x+2y-4=0\cdots\maru1$ , $x-y-1=0\cdots\maru2$ は1点で交わり, その交点をA $( x_1, y_1 )$ とする。次の問いに答えよ。
(1) 直線の方程式 $k(x+2y-4)+(x-y-1)=0\cdots\maru3$ は, 点Aを通ることを示しなさい。ただし, $k$ は定数とする。
(2) 点Aと点(0, 3)を通る直線の式を求めよ。

解答例

【解答例】
(1) 点Aは直線 $\maru1, \maru2$ の交点であるから,
$x_1+2y_1-4=0\cdots(P)$ , $x_1-y_1-1=0\cdots(Q)$ である。
また, 直線の方程式 $k(x+2y-4)+(x-y-1)=0$ に点Aの座標を代入すると,
$k(x_1+2y_1-4)+(x_1-y_1-4)=0$ となり, $(P), (Q)$ より,
これは $k$ の値に関係なく等式が成り立つ。
よって, $\maru3$ は点Aを通る。

(2) $\maru3$ に点(0, 3)を代入すると,
$2k-4=0$
$k=2$ となる。このとき $\maru3$ は,
$2(x+2y-4)+(x-y-1)=0$ となるので,
計算すると,
$3x+3y-9=0$
整理して,
$x+y-3=0\cdots$ (答)

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